前言

如果你对图论相关知识一点也没有，那么建议您先去了解这些知识：https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122310835，然后就可以快乐的学习最短路算法啦

视频中绘图软件：https://csacademy.com/app/graph_editor/

配套讲解视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Fa411C7wX/

如果哪里讲的有问题欢迎在评论区指出，感谢支持！

一、Floyd算法

1.1简介

Floyd算法算是最简单的算法，没有之一。适用于任何图

不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在。

基于动态规划的思想

1.2复杂度

1.2.1时间复杂度

$O(N^3)$

1.2.2空间复杂度

$O(N^2)$

1.3优缺点

1.3.1优点

常数小，容易实现，思路简单，能处理大部分图

1.3.2缺点

复杂度较高、不能处理负环图

1.4算法原理

我们定义一个三维数组$f[k][u][v]$表示的是允许经过$[1,k]$的点的$u$到$v$的最小距离，换句话说从$1$到$k$这些点可以作为$u$到$v$的中间节点，当然没也可以不经过，很显然我们如果要求解$u$到$v$的最小距离那么就是$f[n][u][v]$（假设当前的图中有n个点的话），那么我们考虑怎么来维护这个关系呢，首先初始化来说，$f[0][u][v]$先初始化为INF，如果有边连接的话，那么我们取一个min就好，还有就是如果u和v相等的话应该初始化为0，那么我们就能推出这个状态是如何转移的：

$$f[k][u][v]=min(f[k-1][u][v],f[k-1][u][k]+f[k-1][k][v])$$

我们对经过k点和不经过k点去一个min，那么我们的状态转移方程就构造好啦，下面给出代码

void Floyd(){
    for(int k = 1;k <= n; ++k)
        for(int i = 1;i <= n; ++i)
            for(int j = 1;j <= n; ++j)
                f[k][i][j] = min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]);
}

我们发现我们这个第一维的k其实最多能用到当前这一层以及上一层的状态，那么我们可以通过滚动数组优化将其去掉，那么新的代码即为：

void Floyd(){
    for(int k = 1;k <= n; ++k)
        for(int i = 1;i <= n; ++i)
            for(int j = 1;j <= n; ++j)
                f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
}

关于第一维对结果无影响的证明:

我们注意到如果放在一个给定第一维 k 二维数组中，f[x][k] 与 f[k][y] 在某一行和某一列。而 f[x][y] 则是该行和该列的交叉点上的元素。

现在我们需要证明将 f[k][x][y] 直接在原地更改也不会更改它的结果：我们注意到 f[k][x][y] 的涵义是第一维为 k-1 这一行和这一列的所有元素的最小值，包含了 f[k-1][x][y]，那么我在原地进行更改也不会改变最小值的值，因为如果将该三维矩阵压缩为二维，则所求结果 f[x][y] 一开始即为原 f[k-1][x][y] 的值，最后依然会成为该行和该列的最小值。

故可以压缩。

模板题：多源最短路

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e2+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n,m,k;
int f[N][N];

void Floyd(){
	for(int k = 1;k <= n; ++k)
		for(int i = 1;i <= n; ++i)
			for(int j = 1;j <= n; ++j)
				f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	int u,v,w;

	for(int i = 1;i <= n; ++i)
		for(int j = 1;j <= n; ++j)
			f[i][j] = i==j?0:INF;

	for(int i = 1;i <= m; ++i){
		cin>>u>>v>>w;
		f[u][v] = min(f[u][v],w);
	}
	Floyd();
	while(k--){
		cin>>u>>v;
		if(f[u][v] > INF / 2) cout<<"impossible"<<endl;
		else cout<<f[u][v]<<endl;
	}


	return 0;
}

二、Bellman-Ford 算法

2.1简介

$Bellman-Ford$ 算法是一种基于松弛（$relax$）操作的最短路算法，可以求出有负权的图的最短路，并可以对最短路不存在的情况进行判断。当然你可能没听过这个算法，但是应该听过另一个算法$SPFA$ 算法，$SPFA$算法其实就是加入了队列优化的$Bellman-Ford$

2.2复杂度

2.2.1时间复杂度

$O(NM)$

2.2.2空间复杂度

邻接矩阵：$O(N^2)$

邻接表：$O(M)$

2.3优缺点

2.3.1优点

能够处理负权图、能处理边数限制的最短路

2.3.2缺点

复杂度不太理想，很容易被卡

2.4算法原理

2.4.1松弛操作

在介绍该算法前，先来介绍一下松弛操作，对于一个边$(u,v)$，松弛操作对应下面的式子：$dis[v]=min(dis[v],dis[u]+w(u,v))$。也就是我们将源点到v点的距离更新的一个操作

也就是开始可能源点$S$到$v$的路径为$S->v$，如果说经过$u$点后再到$v$的权值比直接到v小那么我们就更新一下路径最小值，这就是松弛操作

2.4.2 具体流程

Bellman算法要做的事就是对于图中所有的边，我们都进行一次松弛操作，那么完成这整个操作的复杂度大概在$O(M)$，然后我们就一直循环的进行这个操作，直到我们不能进行松弛操作为止，就说明我们的单源最短路以及全部求完，那么我们需要多少次这样的完整操作呢，在最短路存在的情况下，由于一次松弛操作会使最短路的边数至少+1 ，而最短路的边数最多为$N-1$ ，因此整个算法最多执行$N-1$轮松弛操作。故总时间复杂度为$O(NM)$。

2.4.3 负环问题

上面提到了我们在求最短路存在的情况最多执行$N-1$轮松弛操作，如果数据中出现了负环，那么我们在第N轮操作的时候也会更新

注意一点：

以$S$点为源点跑 Bellman-Ford 算法时，如果没有给出存在负环的结果，只能说明从$S$点出发不能抵达一个负环，而不能说明图上不存在负环。因为这个图可能是不连通的，那么对于不连通的图我们应该建一个虚点或者称之为超级源点，让这个点连向每一个其他的点并且权值为0，然后再来跑$bellman\_ford$

2.4.4 算法图解

第x轮松弛操作	本轮松弛操作
1	dis[2] =1,dis[3]=4,dis[4]=6
2	dis[4]=3
3	无操作

模板题：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/27274/E

2.5代码实现

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 10000+10;

using namespace std;

struct Node{
	int u,v,w;
};
vector<Node> E; 
int n,m,s,t;
int dis[N];

void bellman_ford(int s){
	for(int i = 1;i <= n; ++i) dis[i] = INF;
	dis[s] = 0;
	
	for(int i = 1;i <= n; ++i)
		for(int j = 0;j < 2 * m; ++j) {
			int u = E[j].u,v = E[j].v,w = E[j].w;
			if(dis[v] > dis[u] + w)
				dis[v] = dis[u] + w;
		}
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>s>>t;
	int u,v,w;
	for(int i = 1;i <= m; ++i) {
		cin>>u>>v>>w;
		E.push_back({u,v,w});
		E.push_back({v,u,w});
	}
		
	bellman_ford(s);
	if(dis[t] >= INF / 2) cout<<"-1"<<endl;
	else cout<<dis[t]<<endl;
	
}

2.6判负环实现

如果我们发现第$N$轮操作也更新了那么说明存在负权回路

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 2e6+10;

int n,m,q,k;
struct Edge{
	int u,v,w;
}E[N];
int dis[N];

bool bellman_ford(){
	for(int i = 1;i <= n; ++i)
		for(int j = 0;j < m; ++j) {
			int u = E[j].u,v = E[j].v,w=E[j].w;
			if(dis[v] > dis[u] + w){
				dis[v] = dis[u] + w;
				if(i == n)
					return true;
			}
		}
	return false;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i = 0;i < m; ++i) {
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		E[i]={u,v,w};
	}
	bool k = bellman_ford();
	if(k) cout<<"Yes"<<endl;
	else cout<<"No"<<endl;
	return 0;
}

三、SPFA

3.1简介

关于SPFA，它死了

3.2复杂度

3.2.1时间复杂度

理想复杂度为$O(KM)$，这里的$K$可以看作一个常数

最坏为$O(NM)$但是一般情况下是跑不到这么多（除非出题人卡SPFA）

3.2.2空间复杂度

邻接表：$O(M)$

邻接矩阵：$O(N^2)$

3.3优缺点

3.3.1优点

好写、效率挺快（一般来说即不被卡的话），能处理几乎所有类型的图

3.3.2缺点

容易被网格菊花图卡成傻b

3.4算法原理

3.4.1思想

其实$SPFA$算法就是$bllman\_ford$算法加上了队列优化，我们在上面的$bellman\_ford$算法能知道我们实际上是将每一个边都松弛了$N-1$次，实际上我们没必要松弛每一个点，因为有些点实际上是不用松弛太多或者说不用松弛的，那么我们希望去掉一些无用的松弛操作，这个时候我们用队列来维护哪些点可能会需要松弛操作，这样就能只访问必要的边了。同样的由于SPFA是队列优化的$bellman\_ford$那么同样能处理负权回路的图

tips：

虽然在大多数情况下 $SPFA$ 跑得很快，但其最坏情况下的时间复杂度为$O(NM)$，将其卡到这个复杂度也是不难的，所以考试时要谨慎使用（在没有负权边时最好使用 $Dijkstra$ 算法，在有负权边且题目中的图没有特殊性质时，若 $SPFA$ 是标算的一部分，题目不应当给出 $Bellman-Ford$ 算法无法通过的数据范围）。

3.4.2流程

用dis数组记录源点到有向图上任意一点距离，其中源点到自身距离为0，到其他点距离为INF。将源点入队，并重复以下步骤：

• 队首t出队，并将t标记为没有访问过，方便下次入队松弛
• 遍历所有以队首为起点的有向边$(t,j)$，若$dis[j]>dis[t]+w(t,j)$，则更新$dis[j]$
• 如果点$j$不在队列中，则$j$入队，并将j标记为访问过
• 若队列为空，跳出循环；否则执行第一步

我们会发现SPFA的这个过程就和BFS是类似的，如果图是随机生成的，时间复杂度为 O(KM) （K可以认为是个常数，m为边数，n为点数）但是实际上SPFA的算法复杂度是 O(NM) ，可以构造出卡SPFA的数据，让SPFA超时。所以使用$SPFA$前一定要三思

3.4.3算法图解

不在队列的元素	在队列的元素	当前松弛操作
{ 2 , 3 , 4 } \{2,3,4 \} {2,3,4}	{ 1 } \{ 1\} {1}	$dis[3]=4,dis[2]=2,dis[4]=6$
{ 1 } \{1 \} {1}	{ 2 , 3 , 4 } \{2,3,4 \} {2,3,4}	dis[4]=3
{ 1 , 2 } \{1,2 \} {1,2}	{ 3 , 4 } \{3,4 \} {3,4}	无操作
{ 1 , 2 , 3 } \{1,2,3 \} {1,2,3}	{ 4 } \{4 \} {4}	无操作
{ 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4 \} {1,2,3,4}	{ ∅ } \{\varnothing \} {∅}	无操作

3.5bellman-ford的其他优化

除了队列优化（SPFA）之外，Bellman-Ford 还有其他形式的优化，这些优化在部分图上效果明显，但在某些特殊图上，最坏复杂度可能达到指数级。

• 堆优化：将队列换成堆，与 Dijkstra 的区别是允许一个点多次入队。在有负权边的图可能被卡成指数级复杂度。
• 栈优化：将队列换成栈（即将原来的 BFS 过程变成 DFS），在寻找负环时可能具有更高效率，但最坏时间复杂度仍然为指数级。
• $LLL$ 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队内距离平均值比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首。
• $SLF$ 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队首比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首。
• $D´Esopo-Pape$ 算法：将普通队列换成双端队列，如果一个节点之前没有入队，则将其插入队尾，否则插入队首。

既然有了优化，那么就会有相应的卡的方法，具体请看这一篇回答：https://www.zhihu.com/question/292283275/answer/484871888

模板题：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/27274/E

3.6 SPFA最短路代码实现

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 10000+10;

using namespace std;

struct Node{
	int v,w;
};
vector<Node> E[N]; 
int n,m,s,t;
int dis[N];
bool vis[N];

void SPFA(int s){
	for(int i = 1;i <= n; ++i) 
		vis[i] = false,dis[i] = INF;
	queue<int> que;
	que.push(s);
	dis[s] = 0,vis[s] = true;
	while(!que.empty()){
		int t = que.front();
		que.pop();
		vis[t] = false;
		for(int i = 0,l = E[t].size();i < l; ++i) {
			int j = E[t][i].v;
			int k = E[t][i].w;
			if(dis[j] > dis[t] + k){
				dis[j] = dis[t] + k;
				if(!vis[j]){
					vis[j] = true;
					que.push(j);
				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>s>>t;
	int u,v,w;
	for(int i = 1;i <= m; ++i) {
		cin>>u>>v>>w;
		E[u].push_back({v,w});
		E[v].push_back({u,w});
	}
	
	SPFA(s);
	if(dis[t] >= INF / 2) cout<<"-1"<<endl;
	else cout<<dis[t]<<endl;
	
}

3.7 SPFA判负环实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>

const int N = 2e6+10;
int n,m,q;

vector<PII> E[N];
int dis[N],cnt[N];
bool vis[N];

void spfa(){
	queue<int> que;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) que.push(i),vis[i] = true;
	while(!que.empty()){
		int t = que.front();
		que.pop();
		vis[t] = false;//表明t这个点已经离开这个队列了
		for(int i = 0,l = E[t].size();i < l; ++i) {
			int j = E[t][i].first,k = E[t][i].second;
			if(dis[j] > dis[t] + k) {
				dis[j] = dis[t] + k;
				cnt[j] = cnt[t] + 1;
				if(cnt[j] >= n) {//找到负权边
					cout<<"Yes"<<endl;
					return;
				}
				if(!vis[j])//将j这个点重新加入队列
					que.push(j),vis[j] = true;
			}
		}
	}
	cout<<"No"<<endl;
}

int main()
{	
	cin>>n>>m;
	int u,v,w;
	for(int i = 0;i < m; ++i) {
		cin>>u>>v>>w;
		E[u].push_back({v,w});
	}
	spfa();
	
	return 0;
}

3.8 SPFA判断正环

关于$SPFA$判断正环的可以参考这一题：https://blog.csdn.net/m0_46201544/article/details/123011318

四、Dijkstra算法

4.1简介

$dijkstra$是一种单源最短路径算法,时间复杂度上限为 $O(n^2)$ (朴素),在实际应用中较为稳定 ; 加上堆优化之后更是具有$O((n+m){\log }_{2}n)$ 的时间复杂度,在稠密图中有不俗的表现.

$Dijkstra（/ˈdikstrɑ/或/ˈd\varepsilon ikstrɑ/）$算法由荷兰计算机科学家 $E.W.Dijkstra$ 于 $1956$ 年发现，$1959$ 年公开发表。是一种求解 非负权图 上单源最短路径的算法。

贪心思想

4.2复杂度

4.2.1空间复杂度

4.2.1.1朴素Dijkstra

$O(N^2)$

4.2.1.2链式前向星优化+Dijkstra

$O(M)$

4.2.2时间复杂度

4.2.2.1 朴素Dijkstra

$O(N^2)$

4.2.2.2 链式前向星+堆优化的Dijkstra

$O((n+m){\log }_{2}n)$

4.3优缺点

4.3.1 优点

朴素$Dijkstra$和堆优化的$Dijkstra$基本上能解决所有的正权图最短路问题，时间复杂度不会受到限制

4.3.2 缺点

不能处理负权图，如果需要处理负权图请移步$SPFA$

但是在某些特定的含有负边的图DJ也是对的例如：

但是我们稍加变换，迪杰斯特拉就不能处理了：

4.4 算法原理

4.4.1思想

$Dijkstra$的核心思想其实就是贪心思想，每次寻找一个临近点的dis值最小的点，然后我们再来对该点进行松弛操作

4.4.2 流程

将结点分成两个集合：已确定最短路长度的点集（记为$S$集合）的和未确定最短路长度的点集（记为$T$集合）。一开始所有的点都属于$T$集合。

• 1.初始化 $dis[start]=0$, 其余节点的 $dis$ 值为无穷大
• 2.从$T$集合中选取一个从源点到该点的最短路值最小的点$x$，然后放入$S$集合中（我们可以通过vis数组标记来实现集合划分）
• 3.遍历 $x$ 的所有出边 $(x,y,z)$, 若 $dis[y]>dis[x]+z$, 则令 $dis[y]=dis[x]+z$
• 4.重复 2,3 两步,直到所有点都加入集合$S$ .
• 时间复杂度为 $O(n^2)$

4.4.3 算法图解

T集合元素	S集合元素	当前松弛操作
{ 2 , 3 , 4 } \{2,3,4\} {2,3,4}	{ 1 } \{1 \} {1}	dis[1] = 0,dis[2]=1,dis[3]=4,dis[4]=6
{ 3 , 4 } \{3,4 \} {3,4}	{ 1 , 2 } \{1,2\} {1,2}	dis[4] = 3
{ 3 } \{ 3\} {3}	{ 1 , 2 , 4 } \{1,2,4\} {1,2,4}	无
$\varnothing$	{ 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4}	无

那么最终我们的dis值就变成了：

$$\begin{gathered} dis[1]=0 \\ dis[2]=1 \\ dis[3]=4 \\ dis[4]=3 \end{gathered}$$

4.5 优化

我们发现，对于寻找$dis$值最小的点的操作，我们通过不同的方式维护的话那么算法的整体复杂度就会不同

• 暴力：不使用任何数据结构进行维护，每次 2 操作执行完毕后，直接在$T$集合中暴力寻找最短路长度最小的结点。3操作总时间复杂度为$O(M)$，2操作总时间复杂度为$O(N^2)$，全过程的时间复杂度为$O(N^2+M)=O(N^2)$。
• 二叉堆：每成功松弛一条边$(u,v)$，就将$v$插入二叉堆中（如果$v$已经在二叉堆中，直接修改相应元素的权值即可），2操作直接取堆顶结点即可。共计$O(M)$次二叉堆上的插入（修改）操作，$O(N)$次删除堆顶操作，而插入（修改）和删除的时间复杂度均为$O(lo{g}_{2}N)$，时间复杂度为$O((N+M)\times lo{g}_{2}N)=O(mlo{g}_{2}m)$。
• 优先队列：和二叉堆类似，但使用优先队列时，如果同一个点的最短路被更新多次，因为先前更新时插入的元素不能被删除，也不能被修改，只能留在优先队列中，故优先队列内的元素个数是$O(M)$的，时间复杂度为 $O(Mlo{g}_{2}M)$
• Fibonacci 堆：和前面二者类似，但 Fibonacci 堆插入的时间复杂度为$O(1)$，故时间复杂度为$O(Nlo{g}_{2}N+M)=O(Nlo{g}_{2}N)$，时间复杂度最优。但因为 Fibonacci 堆较二叉堆不易实现，效率优势也不够大，算法竞赛中较少使用。

注意的是：在稠密图中通过暴力方式维护效率更好，$O(N^2)$，在稀疏图中通过堆优化的方式维护效率更高，$O((n+m){\log }_{2}n)$

4.6 正确性证明(引自算法导论)

$dijkstra$ 为什么是正确的呢？，当我们存储的所有的边都是正权边时，整个图的最小值不可能再被其他节点更新，所以我们在T集合中寻找dis最小值其实就是再选择全局最小值，也就是贪心的思想

下面用数学归纳法证明，在 所有边权值非负 的前提下，Dijkstra 算法的正确性。

简单来说，我们要证明的，就是在执行 1 操作时，取出的结点$u$最短路均已经被确定，即满足$D(u)=dis(u)$ 。

• 初始的时候$S=\varnothing$ ，假设成立，接下来使用反证法。

• 设$u$点为算法中第一个在加入$S$集合时不满足$D(u)=dis(u)$的点。因为$s$点一定满足$D(u)=dis(u)=0$，且它一定是第一个加入$S$集合的点，因此将$u$加入$S$集合前$S!=\varnothing$，如果不存在$s$到$u$的路径，则$D(u)=dis(u)=+\infty$ ，与假设矛盾。

• 于是一定存在路径$s->x->y->u$，其中y为$s->u$路径上第一个属于$T$集合的点，而$x$为$y$的前驱节点（显然x∈S）。需要注意的是，可能存在$s=x$或者$y=u$的情况，即$s->x$或者$y->u$是一个不存在的路径

• 因为在$u$结点之前加入的结点都满足$D(u)=dis(u)$，所以在$x$点加入到$S$集合时，有$D(u)=dis(u)$，此时边$(x,y)$会被松弛，从而可以证明，将$u$加入到$S$时，一定有$D(y)=dis(y)$。

• 下面证明$D(u)=dis(u)$成立。在路径$s->x->y->u$中，因为图上所有边边权非负，因此$D(y)<=D(u)$。从而$dis(y)<=D(y)<=D(u)<=dis(u)$。但是因为$u$结点在2 过程中被取出$T$集合时，$y$结点还没有被取出$T$集合，因此此时有$dis(u)<=dis(y)$，从而得到$dis(y)=D(y)=D(u)=dis(u)$，这与$D(u)!=dis(u)$的假设矛盾，故假设不成立。

• 因此我们证明了，2 操作每次取出的点，其最短路均已经被确定。命题得证。

4.7 代码实现

模板题：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/27274/E

4.7.1 朴素Dijkstra(稠密图)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int N = 1e3+10;

int f[N][N],n,m,dis[N];
bool vis[N];

void DJ(int s){
	for(int i = 1;i <= n; ++i) dis[i] = INF,vis[i] = false;
	dis[s] = 0;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		int t = -1;
		for(int j = 1;j <= n; ++j) 
			if(!vis[j] && (t == -1 || dis[j] < dis[t])) t = j;
		if(t == -1) return;
		vis[t] = true;
		for(int j = 1;j <= n; ++j)
			if(dis[j] > dis[t] + f[t][j])
				dis[j] = dis[t] + f[t][j];
	}
}

int main()
{
    int s,t;
	cin>>n>>m>>s>>t;
	int u,v,w;
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	for(int i = 1;i <= m; ++i){
		cin>>u>>v>>w;
		f[v][u] = f[u][v] = min(f[u][v],w);
	}
	DJ(s);
	if(dis[t] == INF) cout<<"-1"<<endl;
	else cout<<dis[t]<<endl;
	return 0;
}

4.7.2 优先队列优化Dijkstra(稀疏图)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>

using namespace std;
#define endl "\n"
#define PII pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
const int N = 2e6+10;

int dis[N],n,m;
bool vis[N];
vector<PII> E[N];

void DJ(int s){
	for(int i = 1;i <= n; ++i) dis[i] = INF,vis[i] = false;
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > que;
	que.push({0,s});
	dis[s] = 0;
	while(!que.empty()){
	    int t = que.top().second;
	    que.pop();
	    if(vis[t]) continue;
	    vis[t] = true;
	    for(int i = 0,l = E[t].size();i < l; ++i) {
	        int j = E[t][i].first,w = E[t][i].second;
	        if(dis[j] > dis[t] + w){
	            dis[j] = dis[t] + w,que.push({dis[j],j});
	        }
	    }
	}
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int s,t;
	cin>>n>>m>>s>>t;
	int u,v,w;
	for(int i = 1;i <= m; ++i){
		cin>>u>>v>>w;
		E[u].push_back({v,w});
        E[v].push_back({u,w});
	}
	DJ(s);
	if(dis[t] == INF) cout<<"-1"<<endl;
	else cout<<dis[t]<<endl;
	return 0;
}

4.7.3 链式前向星+优先队列优化Dijkstra

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>//
using namespace std;
const int N=2e5+5;//数据范围
struct edge{//存储边
    int u,v,w,next;//u为起点，v为终点，w为权值，next为前继
};
edge e[N];
int head[N],dis[N],n,m,s,cnt;//head为链中最上面的，dis表示当前答案，n为点数，m为边数，s为起点，cnt记录当前边的数量
bool vis[N];//vis表示这个点有没有走过
struct node{
    int w,to;//w表示累加的权值，to表示到的地方
    bool operator <(const node &x)const{//重载“<”号
        return w>x.w;
    }
};
priority_queue<node>q;//优先队列（堆优化）
void add(int u,int v,int w){
    ++cnt;//增加边的数量
    e[cnt].u=u;//存起点
    e[cnt].v=v;//存终点
    e[cnt].w=w;//存权值
    e[cnt].next=head[u];//存前继
    head[u]=cnt;//更新链最上面的序号
}//链式前向星（加边）
void Dijkstra(){
    memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));//初始化，为dis数组附一个极大值，方便后面的计算
    dis[s]=0;//起点到自己距离为0
    q.push(node{0,s});//压入队列
    while(!q.empty()){//队列不为空
        node x=q.top();//取出队列第一个元素
        q.pop();//弹出
        int u=x.to;//求出起点
        if(vis[u]) continue;//已去过就不去了
        vis[u]=true;//标记已去过
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].v;//枚举终点
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){//若中转后更优，就转
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;//更新
                q.push(node{dis[v],v});//压入队列
            }
        }
    }
}
int main(){
    int u,v,w = 1;
    s = 1;
    scanf("%d%d",&n,&m);//输入
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v,w);
        add(v,u,w);
    }
    Dijkstra();//DJ
    printf("%d\n",dis[n]);//输出1-n的最短路
    return 0;
}

4.8 路径打印问题

我们可以定义一个$pre$数组，然后$pre[i]$记录的是上一个位置是哪一个节点，当然初始的时候我们全部初始化为$-1$，然后每次松弛操作的时候就更新一下上一个节点的位置，你有没有发现这就是链式前向星，然后最后打印的时候要么递归打印，那么手动写栈打印，这个方法不只是适用于Dijkstra，而且也适用于其他最短路算法，如$SPFA$、$bellman\_ford$、$Floyd$等等

那么简单描述一下打印函数

void print(int t){
	for(int i = t;~i;i=pre[i]){
		cout<<i;
		if(i != s) cout<<" -> ";
	}
}

4.9 路径统计问题

其实我们在松弛操作的时候就能记录or更新从源点到当前点的路径条数，模板题可以参见下面的：最短路计数

五、Johnson 全源最短路径算法

待补充

训练题单

题目名称	题目链接	题解博客
线路	https://ac.nowcoder.com/acm/contest/27274/E	https://blog.csdn.net/m0_46201544/article/details/122545202
【模板】单源最短路径（弱化版）	https://www.luogu.com.cn/problem/P3371	模板请参见上面
【模板】单源最短路径（标准版）	https://www.luogu.com.cn/problem/P4779	模板请参见上面
邮递员送信	https://www.luogu.com.cn/problem/P1629	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123031493
有边数限制的最短路	https://www.acwing.com/problem/content/855/	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122857119
spfa求最短路	https://www.acwing.com/problem/content/853/	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122857137
多源最短路	http://acm.mangata.ltd/p/P1507	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122857180
Frogger	http://poj.org/problem?id=2253	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122998051
Heavy Transportation	http://poj.org/problem?id=1797	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122998486
Silver Cow Party	http://poj.org/problem?id=3268	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123002888
Wormholes	http://poj.org/problem?id=3259	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123007502
Currency Exchange	http://poj.org/problem?id=1860	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123011318
MPI Maelstrom	http://poj.org/problem?id=1502	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123011950
Cow Contest	http://poj.org/problem?id=3660	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123017032
Invitation Cards	http://poj.org/problem?id=1511	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123017419
Candies	http://poj.org/problem?id=3159	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123018565
面基	https://ac.nowcoder.com/acm/contest/27150/J	https://blog.csdn.net/m0_46201544/article/details/122513361
On Average They’re Purple	https://ac.nowcoder.com/acm/contest/12606/H	https://blog.csdn.net/m0_46201544/article/details/122810241
最短路计数	https://www.luogu.com.cn/problem/P1144	https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123031941