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c++ - 最大化调度具有依赖关系的单元任务的利润

coder 2023-06-03 原文

问题我有 n 个作业要在 P 秒内安排在无限数量的机器上，这些机器之间存在依赖关系，即对于每个作业，都有一组作业，只有在该作业完成后才能安排这些作业。在任何机器上在第 jth 秒内调度第 ith 个作业的利润是 f(i,j)，它是正数。
我的目标是通过在最多 P 秒内准确地安排每个作业一次来最大化总利润。

我们可以假设所有作业总是可以在 P 秒内调度。

一切都是预先知道的，即离线问题。

还有 0 <= f(i,j)=""><= b="" 。对于所有="" i,="" j="">

并且依赖的数量是 O(n)。

这个问题容易吗？ [可能是由于有限的约束]

我的方法
为简单起见，首先假设一项工作的利润与时间无关。
即 f(i,j) 对于所有 i 都独立于 j 并且仅依赖于 i。
然后任何适合 P 秒的拓扑排序都将起作用。
如果没有依赖性，那么我们也为每个工作选择最高的利润分配时间，这也很容易。

但问题是当工作的利润随时间而变化时，依赖关系，在这种情况下，我想不出任何通用算法。

我在处理作业之间的依赖关系时遇到了麻烦，是否有在线依赖单元任务调度算法的资源？

请分享任何可以帮助的想法...

更新:我添加了各种参数的界限，因为它们可能是分析问题所必需的。

最佳答案

这是一个动态规划问题。为简单起见，我们假设所有利润都是非负的。

将 F(i, j) 定义为调度第 i 的作业以及所有依赖它的事物(递归向下)在第 j 秒或之后，如果不可能，则为 -1。

如果 F(i_1, j+1) 是 -1<，则>F(i, j) 是 -1/code> 用于 i 的任何依赖项 i_1。否则为 (f(i, j) 加上 F(i_1, j+1)) 或 F(i, j+ 1).

然后你的答案是所有作业 i 的 F(i, 0) 总和，没有依赖关系。

(如果没有无限的机器，这个问题会变成 np-hard...)

这是一个示例，说明如何使用您的问题对 MAX-SAT 方程进行建模，其中每个子句的所有项都未否定或所有项都被否定。

假设我们有 4 个 bool 变量 A、B、C 和 D。举个例子，假设我们想要为方程 (A && B) || 做最大的可满足性。 (!A && !C) || (!B && !C && !D) || (C && D)。 (其中 ! 表示非，&& 表示和，|| 表示或。)

对于 J1 必须在 J2 之前运行的作业，我们使用符号 J1 > J2。并分布在括号中，以便 J1 > (J2, J3) 意味着 J1) 是J2和J3`的依赖项。J2和J3` p>

现在为 bool 值建模，让我们设置 12 个作业。 A1 > A2 > A3、B1 > B2 > B3、C1 > C2 > C3 和 D1 > D2 > D3。那么作业 A2, B2, C2, D2 必须在时间 2 或 3 发生，并且 bool 值 A是“A2 发生在时间 2”这句话的真实性。对于其他 bool 值也是如此。

无论何时运行，所有这些作业都会获得 1 的利润。我们引入了 3 倍于 bool 值的作业，但到目前为止这很简单。

现在让我们为子句添加作业。如果这些作业在 2 或 3 秒内运行，则每个作业将获得 11 的利润，否则为 1 .因此，当您为 bool 值找到最大化为真子句数量的设置时，您将获得最大利润。

(A2, B2) > J1 模拟 (A && B) 的真值。

J2 > (A2, C2)) 模拟 (!A && !C) 的真值。

J3 > (B2, C2, D2) 模拟 (!B && !C && !D) 的真值。

(C2, D2) > J4 模拟(C && D)的真值。

这又是一个简单的转换，添加的作业数量等于子句的数量。

因此，我们正在对 MAX-SAT 问题与调度问题进行建模。但我们不能对所有这些进行建模。特别是我们没有办法用混合否定来模拟像 (A && !B) 这样的子句。因此，即使 MAX-SAT 是 NP 难的，这个受限版本也可能不是。然而 MAX-SAT 的其他受限版本，例如 MAX-2SAT，往往是 NP 难的，我的直觉是这个也是。

但要证明或反驳这种直觉，您应该在更合适的论坛上提问。点赞https://cs.stackexchange.com/ .

关于c++ - 最大化调度具有依赖关系的单元任务的利润，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/27343038/

最大化ampcodesection的c++algorithmoptimizationjob-schedulingmaximize

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