目录

• • • 一、简介
    • 二、易错点
    • 三、例子
    • 四、万能模板
    • 五、参考资料

一、简介

哪怕没有学过编程的同学，也许不知道二分法这个名字，但也一定接触过它的核心思想。不了解的同学也没关系，我用一句话就能概括出它的精髓：将一个区间一分为二，每次都舍弃其中的一部分。

二分法能够极大地降低我们在解决问题时的时间复杂度。假如你要在一个单调递增的数组a[n]中寻找一个数target，遍历的话时间复杂度是O(n)。但如果采用二分法，时间复杂度则是O(log n)。这种效率的提高无疑是巨大的！

二、易错点

1、while循环中是写 left < right 还是写 left <= right ？

2、如下图所示，if(nums[mid]>target)，右边界更新区间时是写成 right = mid 还是 right = mid-1？

这两点是很容易弄混的。要弄清楚上面这两个问题的答案，首先要确定你想写的循环的区间到底是左闭右开还是左闭右闭？（题目没明确要求的话就看你个人选择，都是可以的）

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左闭右闭的区间是这样写的：[left, right]

它包含了 left 和 right 这两个数

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左闭右闭的区间是这样写的：[left, right)

它包含了 left，但不包含 right 。

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假设我选择了左闭右闭，此时需要在数组nums中寻找一个数target，找到的话返回下标，没找到的话返回 -1，伪代码如下：

left=0;
right=nums.size()-1;
while(l <= r){ // 注意这里不是 l < r
	int mid = l + (r - l)/2;
	if(nums[mid] > target) right = mid-1;
	else if(nums[mid] < target) left = mid+1;
	else{
		return mid;
	}	
}

首先，为什么选择左闭右闭的区间，第3行就要写成<=呢？因为写入while循环的判断条件应该与你选择的区间相吻合，而左闭右闭的区间包含了left和right，也就是说可能会出现 left== right的情况。如果写成<，那么就漏掉了left==right 这种情况，所以应该写成<=。

其次，第5行右边界为什么更新为 mid-1 而不是更新为 mid？因为我们已经确定了nums[mid] > target，所以mid一定不是我们要找的值，因此在下一轮搜索中，不应再包含mid这个数。而我们选择的是左闭右闭区间，它包含了左右边界，每次搜索时都会包含左右边界。所以为了使已经被排除的mid不被再次搜索，右边界应该更新为mid-1。

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假设我选择了左闭右开，此时需要在数组nums中寻找一个数target，找到的话返回下标，没找到的话返回 -1，伪代码如下：

left=0;
right=nums.size();
while(l < r){ // 注意这里不是 l <=r
	int mid = l + (r - l)/2;
	if(nums[mid] > target) right = mid;
	else if(nums[mid] < target) left = mid+1;
	else{
		return mid;
	}	
}
return -1;

左闭右开代表包含左边界，不包含右边界。右边界一定比左边界大，不存在 right == left 的情况。所以第3行只能写成<。

而第5行之所以写成right=mid，是因为下一次搜索中本就不会包含right，我们也确定了right不是要找的值，所以直接写成right=mid就可以了。

此时，注意第2行，因为左闭右开不包含右边界，所以右边界要设置为nums.size()，这样才能把nums.size()-1包含在搜索区间里。

三、例子

如果你已经理解了上面的内容，可以尝试做下面这道题：

左闭右闭：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
         int l = 0, r =  nums.size() - 1; 
        while(l <= r){ 
            int m = l + (r - l)/2;
            if(nums[m] > target)r = --m;
            else if(nums[m] < target) l = ++m;
            else{
                return m;
            }
        }
    return -1; 
    }
};

左闭右开：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
         int l = 0, r =  nums.size(); 
        while(l < r){ 
            int m = l + (r - l)/2;
            if(nums[m] > target)r = m;
            else if(nums[m] < target) l = ++m;
            else{
                return m;
            }
        }
    return -1; 
    }
};

四、万能模板

尽管理解了上面的内容，但很多时候解题还是会遇到困难。

比如说给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

你会发现上面的两个代码很难应用到这种题，所以我找到了一个万能模板，跟大家分享一下：

class Solution {
    /**
     * 如果返回值等于 nums.size()，代表 nums 中不存在 满足 nums[i] >= target 的 i，也就是所有元素都小于 target。
     * 否则返回满足 nums[i] >= target 的最小 i（最左 i）。也就是说，如果有多个连续的 target，会返回最靠左的那个的下标。
     * nums为单调不减数组
     * target为边界值  
     **/
    public: int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
        int l = 0, r = nums.size()- 1; // 二分查找的左右初始边界
        while(l <= r){ // 注意这里不是 l < r
            int m = l + (r - l)/2;
            if(nums[m] >= target)r = --m;
            else l = ++m;
        }
        return l; // 此时，l 代表arr[i] >= x 的最小 i。
    }
};

如何运用这个模板去解决不同的问题呢？请往下看

1、查找某个数 x 首次出现的位置，如果不存在，返回-1。

如果 binarySearch(arr, x) == nums.size()，代表所有元素都小于x，也就无法查找到 x 首次出现的位置；如果有多个元素等于 x，则 binarySearch(arr, x) 代表 x 首次出现的位置的下标；如果binarySearch(arr, x) != x，则不存在某个数等于 x，binarySearch(arr, x) 代表最靠左的大于 x 的数。

2、查找某个数 x 最后出现的位置，如果不存在，返回-1。

将该问题转换为用 int ret = binarySearch(arr, x+1) - 1 来解决。 如果ret < 0，返回 -1；否则，如果nums[ret] == x，ret 就是答案；否则，返回 -1。

3、查找某个数 x 首次出现的位置，如果不存在 x，则求出适合插入 x 的位置。

binarySearch(arr, x)就是。

4、查找小于x的最后一个数。

转换为用binarySearch(arr, x) - 1来解决，注意判断存在性。

5、查找小于x的第一个数。

这是个伪问题。

6、查找大于x的第一个的数。

转换为用binarySearch(arr, x + 1)来解决，注意判断存在性。

7、查找大于x的最后一个的数。

这是个伪问题。

举例：

35. 搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

• 1 <= nums.length <= $10^4$

• -$10^4$ <= nums[i] <= $10^4$

• nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组

• -$10^4$ <= target <= $10^4$

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int l = 0, r =  nums.size() - 1; // 二分查找的左右初始边界
        while(l <= r){ // 注意这里不是 l < r
        int m = l + (r - l)/2;
        if(nums[m] >= target)r = --m;
        else l = ++m;
    }
    return l; // 此时，l 代表arr[i] >= tarhget的最小 i。
    }
};

五、参考资料

1、二分查找万能模板

2、【二分查找】详细图解

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