条件分布：事件\(A\)发生的条件下，\(X\)的分布函数就叫条件分布函数。( 事件\(A\)会对事件\(\{X\le x\}\)发生的概率产生影响。)
假设有两个随机变量\(X,Y\)，在\(Y=y_j\)的条件下，要求\(X\)的分布，即\(P\{X\le x|Y=y_j\}\)。
解题思路：
若\(f_Y(y)>0\)，在\(Y=y\)的条件下，条件分布函数
而条件密度函数
同理，在\(X=x\)的条件下，
这里简单的证明一下第一个公式：
这里的分子分母均为0。
类似于可以将\(x=5\)表示为\(\lim\limits_{\varepsilon\to0}5\le x\le5+\varepsilon\)，
这里将上式表示为下式：
积分中值定理：存在\(\xi\in[a,b]\)使得\(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)\)
根据积分中值定理，分母的\(\varepsilon\)为区间长度，则存在\(\xi\in[y,y+\varepsilon]\)使得\(\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f_Y(v)dv=f_Y(\xi)\).
又因为\(y\le\xi\le y+\varepsilon\)且\(\varepsilon\to0\)，所以\(\xi=y\).
所以\(\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f_Y(v)dv=f_Y(y)\)
分子部分同理，根据积分中值定理，分子部分中间的\(\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f(u,v)\mathrm{d}v=f(u,y)\)
因此，原式\(=\frac{\int_{-\infty}^xf(u,y)\mathrm{d}u}{f_Y(y)}\)（这里的分母是常数，可以移到积分内部）
综上，
总结：
- 将点转换为长度趋于0的区间。
- 积分中值定理。
如果\(X,Y\)满足
即
则说\(X,Y\)是相互独立的。
同理有\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\)。
充要条件
\(X,Y\)相互独立的充要条件是\(X\)的所有事件与\(Y\)的所有事件独立：
如果联合概率等于边缘概率的乘积，则相互独立。
这里的\(i,j\)需要遍历所有情况，
- 只要有一个不等于，就不满足相互独立。
- 如果对于所有的\(i,j\)都相等，则相互独立。
图解：
\(X,Y\)相互独立的充要条件是\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)。
二元正态分布的两个变量相互独立当且仅当\(\rho=0\).
如果\(X,Y\)相互独立，则\(g_1(X),g_2(Y)\)相互独立。
使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社
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