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线性代数 --- 矩阵求逆的4种方法

松下J27 2023-05-22 原文

线性代数 --- 矩阵求逆的4种方法

        写在最前面：在大多数情况下，我们学习线性代数的目的是为了求解线性方程组Ax=b，而不是为了求A的逆。

        单就解方程而言，LU分解是最实用的算法。只需按照A=LU——>Ax=b,LUx=b——>Ly=b(正向回代求得y)，Ux=y(反向回代,最终求得x)的步骤求解即可。根本就不应该去求逆，而且求逆本身就有比较大的精度损失。

        因此，单就解方程而言，求逆可以说是下下策。可是，时至今日，我跟很多同事聊起来(下至三流专科，上至985，211，不论是本科学历，还是硕士博士），他们对于解方程的第一反应还是求逆，好像在CN不求逆就没法解方程了一样。这种，在畸形edu模式下的错误思维，真的是害人不浅。而且，不仅如此，如果大家都认为解方程应该求逆，就你一个人觉得求逆的“大错特错”，则他们就会群起而攻之，其势然也。。。（此四字，出自《三国演义》，郭嘉死后，曹操观沧海处）。

感兴趣的朋友可以看看这篇文章：

別再算逆矩陣了 | 線代啟示錄https://ccjou.wordpress.com/2014/06/19/%E5%88%A5%E5%86%8D%E7%AE%97%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%99%A3%E4%BA%86/

1，待定系数法 

 2，高斯消元法

        已知矩阵A和对应维度的单位矩阵I，先写出增广矩阵A|I，然后对A进行高斯消元，在对A消元的同时，单位矩阵I也在变，直到把A消成单位矩阵，A旁边的单位矩阵也会随之变成A的逆矩阵。

Matlab的计算结果： 

 3，用LU分解求矩阵的逆

        跟我们平时用LU分解的结果来解方程不同的是，以往，我们面对的是Ax=b（x和b都是和A同维度的列向量），当我们已经求得了A的LU分解以后，我们会按照先求Ly=b,得到y，再求Ux=y的步骤，得到最终的x。如果，我们使用的是PA=LU的分解，则是先求Ly=Pb,再求Ux=y。而这里，我们面对的是AX=I（X和I都是和A同维度的矩阵，且X就是A-1）。因此，我这里的做法是把单位矩阵中的每一列，都看成是Ax=b中的一个b，同时，也把“未知矩阵”A-1中的每一列看成是Ax=b中的x。

        实际上，我的这个做法也是符合矩阵与矩阵的乘法的意义的，例如AB=C,则，C中的每一列，实际上都是B中的对应列，对A中所有列的线性组合的结果。B的对应列中的每一个元素就是线性组合的权重。

MATLAB的计算结果： 

 4，伴随矩阵+代数余子式

        上面的四个矩阵求逆例子，大多是针对2x2矩阵而言的，下面补充一些3x3矩阵上应用。

补充1，伴随矩阵法在3x3矩阵上的应用：

MATLAB的计算结果：  

补充2，伴随矩阵法：

MATLAB的计算结果：  

 补充3，其他网站关于伴随矩阵法的说明：

相关文章，怎么判断一个矩阵是否可逆？：

线性代数 --- 如何判断矩阵是否可逆（奇异与非奇异）？_松下J27的博客-CSDN博客如何判断矩阵是否可逆？如何判断一个矩阵是否可逆？一个可逆的矩阵有那些性质？https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/120510778

（全文完）

作者 --- 松下J27

本文于2022年5月26日晚，对LU分解的笔记部分增加了文字补充。

本文于2022年11月08日，增加了MATLAB的计算结果，便于大家参考。大家也可以在matlab中用他的自带求逆函数inv()对自己的计算结果加以验证。

本文于2022年11月28日，增加了拓展阅读的链接。

本文于2023年4月10号，利用上班的空暇时间，对本文开始处的第4种求逆的方法代数余子式的插图进行了更换。

人生格言：

忠于自己的内心，比不负众望更重要！

参考文献（鸣谢）：

用余子式、代数余子式和伴随来求逆矩阵https://www.shuxuele.com/algebra/matrix-inverse-minors-cofactors-adjugate.html

 （配图与本文无关）

版权声明：所有的笔记，可能来自很多不同的网站和说明，在此没法一一列出，如有侵权，请告知，立即删除。欢迎大家转载，但是，如果有人引用或者COPY我的文章，必须在你的文章中注明你所使用的图片或者文字来自于我的文章，否则，侵权必究。 ----松下J27

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