假设 x 和 y是拥有n位数的大数，那么x*y的时间复杂度是多少？
最朴素的想法，是使用小学课本中教授的乘法竖式的算法。即，x的每一位都需要与y的每一位进行相乘运算，并将结果按位相加。这个时候，算法的复杂度为$O(n^2)$。对算法复杂度有所了解的同学都知道，平方级的复杂度的算法大多都是存在优化空间的。那么如何对 algorithm 1进行优化呢？
我们是否可以采用分而治之的思想，将x和y分成高n/2位与低n/2位，进行操作？然后递归的进行这个过程呢？基于这种想法，我们的表达式可以记为:
$$
x * y = x_hy_h * 10^n + (x_hy_l+x_ly_h)*10^{n/2} + x_ly_l
$$
如果我们记xy的复杂度为T(n)，那么显然四个子部分的复杂度为4T(n/2)，而乘以$10^n$ 与$10^{n/2}$这一步骤的复杂度为n的线性复杂度，可以记为cn，因此有如下表达式:
$$\begin{cases}
T(n) ≤ 4T(n/2) + cn \quad\quad\quad,n > 1\ ||
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad1\quad\quad\quad,n=1
\end{cases}
$$
根据主定理结论，T(n) 的复杂度为O($n^2$)。这似乎与暴力的竖式算法木有区别呀！并且这只是实际上的理论复杂度，考虑递归操作往往需要栈来实现，出栈入栈还会带来额外的开销。
有没有更好的方法呢？当然是有的！如果我们把$x_hy_h$ 记为A，$x_ly_l$记为B，$(x_h+x_l)(y_h+y_l)$记作D，那么原来的表达式可以写为：
$$
x * y = A * 10^n + (D-A-B)*10^{n/2} + B
$$
这样一来我们的递归就简化为三路递归，迭代式也变为：
$$\begin{cases}
T(n) ≤ 3T(n/2) + cn \quad\quad\quad,n > 1\ ||
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad1\quad\quad\quad,n=1
\end{cases}
$$
根据主定理，此时的复杂度为O($n^{log_23}$)
tips1： 这个算法就是大名鼎鼎的Karatsuba algorithm
tips2: python的大数乘法中也分段的引入了该算法，当n小于等于70时，使用我们熟悉的竖式算法，否则使用Karatsuba algorithm
目录一.加解密算法数字签名对称加密DES(DataEncryptionStandard)3DES(TripleDES)AES(AdvancedEncryptionStandard)RSA加密法DSA(DigitalSignatureAlgorithm)ECC(EllipticCurvesCryptography)非对称加密签名与加密过程非对称加密的应用对称加密与非对称加密的结合二.数字证书图解一.加解密算法加密简单而言就是通过一种算法将明文信息转换成密文信息，信息的的接收方能够通过密钥对密文信息进行解密获得明文信息的过程。根据加解密的密钥是否相同，算法可以分为对称加密、非对称加密、对称加密和非
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有没有人用ruby解决这个问题:假设我们有:a=8.1999999我们想将它四舍五入为2位小数，即8.20，然后乘以1,000,000得到8,200,000我们是这样做的；(a.round(2)*1000000).to_i但是我们得到的是8199999，为什么？奇怪的是，如果我们乘以1000、100000或10000000而不是1000000，我们会得到正确的结果。有人知道为什么吗？我们正在使用ruby1.9.2并尝试使用1.9.3。谢谢! 最佳答案 每当你在计算中得到时髦的数字时使用bigdecimalrequire'bi
1．问题描述使用Python的turtle（海龟绘图）模块提供的函数绘制直线。2．问题分析一幅复杂的图形通常都可以由点、直线、三角形、矩形、平行四边形、圆、椭圆和圆弧等基本图形组成。其中的三角形、矩形、平行四边形又可以由直线组成，而直线又是由两个点确定的。我们使用Python的turtle模块所提供的函数来绘制直线。在使用之前我们先介绍一下turtle模块的相关知识点。turtle模块提供面向对象和面向过程两种形式的海龟绘图基本组件。面向对象的接口类如下：1）TurtleScreen类：定义图形窗口作为绘图海龟的运动场。它的构造器需要一个tkinter.Canvas或ScrolledCanva
我一直在尝试用Ruby实现Luhn算法。我一直在执行以下步骤:该公式根据其包含的校验位验证数字，该校验位通常附加到部分帐号以生成完整帐号。此帐号必须通过以下测试:从最右边的校验位开始向左移动，每第二个数字的值加倍。将乘积的数字(例如，10=1+0=1、14=1+4=5)与原始数字的未加倍数字相加。如果总模10等于0(如果总和以零结尾)，则根据Luhn公式该数字有效；否则无效。http://en.wikipedia.org/wiki/Luhn_algorithm这是我想出的:defvalidCreditCard(cardNumber)sum=0nums=cardNumber.to_s.s
下面是我写的一个计算斐波那契数列中的值的方法:deffib(n)ifn==0return0endifn==1return1endifn>=2returnfib(n-1)+(fib(n-2))endend它工作到n=14，但在那之后我收到一条消息说程序响应时间太长(我正在使用repl.it)。有人知道为什么会这样吗？ 最佳答案 Naivefibonacci进行了大量的重复计算-在fib(14)fib(4)中计算了很多次。您可以将内存添加到您的算法中以使其更快:deffib(n,memo={})ifn==0||n==1returnnen
为了防止在迁移到生产站点期间出现数据库事务错误，我们遵循了https://github.com/LendingHome/zero_downtime_migrations中列出的建议。(具体由https://robots.thoughtbot.com/how-to-create-postgres-indexes-concurrently-in概述)，但在特别大的表上创建索引期间，即使是索引创建的“并发”方法也会锁定表并导致该表上的任何ActiveRecord创建或更新导致各自的事务失败有PG::InFailedSqlTransaction异常。下面是我们运行Rails4.2(使用Acti
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我正在开发一个类似微论坛的项目，其中一个特殊用户发布一条快速(接近推文大小)的主题消息，订阅者可以用他们自己的类似大小的消息来响应。直截了当，没有任何形式的“挖掘”或投票，只是每个主题消息的响应按时间顺序排列。但预计会有很高的流量。我们想根据它们引起的响应嗡嗡声来标记主题消息，使用0到10的等级。在谷歌上搜索了一段时间的趋势算法和开源社区应用示例，到目前为止已经收集到两个有趣的引用资料，但我还没有完全理解它们:Understandingalgorithmsformeasuringtrends，关于使用基线趋势算法比较维基百科页面浏览量的讨论，在SO上。TheBritneySpearsP
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