最小生成树——Prim算法（详细图解）

skynesser 2023-04-27 原文

最小生成树的概念

在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边，而 w(u, v) 代表此的边权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。（简而言之就是把一个图变成一棵树，并且树中的边权和最小）

经典题目

P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)https://www.luogu.com.cn/problem/P3366

（这道题的数据过大，为了简化问题，我们假定数据范围可以用一个二维数组存下）

prim算法简介

prim算法基于贪心，我们每次总是选出一个离生成树距离最小的点去加入生成树，最后实现最小生成树（不做证明，理解思想即可）

prim算法解析（详细图解）

（随机构建一个无向图）

现在我们构建两个集合S（红色的点），V（蓝色的点），S集合中存放的是已近加入最小生成树的点，V集合中存放的是还没有加入最小生成树的点。显然刚开始时所有的点都在V集合中。
然后们先将任意一个点加入集合S中（默认为点1），并且初始化所有点（除了点1）到集合S的距离是无穷大。

用一个变量res存放最小生成树所有边权值的和。我们每次都选择离S集合最近的点加入S集合中，并且用新加入的点去更新dist数组，因为只有一个新的点加入到集合S中，到集合S的距离才有可能更新（贪心，每次都选最小的）。
更新就是看一下能否通过新加入的点使到达集合的距离变小（看下面dist数组的变化）。
我们开始在加入点1后开始第一次更新。

现在集合S={1}，集合V={2，3，4，5，6，7}，根据贪心策略，我们选择离集合S最近的点加入，即点2，并把这一条边的权值加到res中。

集合更新为S={1，2}，V={3，4，5，6，7}，并用点2去更新dist数组，我们发现点3和点7都可以都可以通过边2-3，2-7缩短到集合S得距离。

重复上面的步骤，直到将全部的点加入到最小生成树中。

3并不能更新任何点

这样一颗最小生成树就构建完成了，权值和是57。

代码实现

const int MAXN = 1000,INF = 0x3f3f3f3f;//定义一个INF表示无穷大。
int g[MAXN][MAXN],dist[MAXN],n,m,res;
//我们用g[][]数组存储这个图，dist[]储存到集合S的距离，res保存结果。
bool book[MAXN];//用book数组记录某个点是否加入到集合S中。

int main()
{
    cin>>n>>m;//读入这个图的点数n和边数m
    for(int i = 1 ; i<= n ;i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n ;j++)
        {
            g[i][j] = INF;//初始化任意两个点之间的距离为正无穷（表示这两个点之间没有边）
        }
        dist[i] = INF;//初始化所有点到集合S的距离都是正无穷
    }
    for(int i = 1; i <= m ; i++)
    {
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;//读入a，b两个点之间的边
        g[a][b] = g[b][a] = w;//由于是无向边，我们对g[a][b]和g[b][a]都要赋值
    }
    prim();//调用prim函数
    if(res==INF)//如果res的值是正无穷，表示不能该图不能转化成一棵树，输出orz
        cout<<"orz";
    else
        cout<<res;//否则就输出结果res
    return 0;
}

void prim()
{
    dist[1] = 0;//把点1加入集合S，点1在集合S中，将它到集合的距离初始化为0
    book[1] = true;//表示点1已经加入到了S集合中
    for(int i = 2 ; i <= n ;i++)dist[i] = min(dist[i],g[1][i]);//用点1去更新dist[]
    for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
    {
        int temp = INF;//初始化距离
        int t = -1;//接下来去寻找离集合S最近的点加入到集合中，用t记录这个点的下标。
        for(int j = 2 ; j <= n; j++)
        {
            if(!book[j]&&dist[j]<temp)//如果这个点没有加入集合S，而且这个点到集合的距离小于temp就将下标赋给t
            {
                temp = dist[j];//更新集合V到集合S的最小值
                t = j;//把点赋给t
            }
        }
        if(t==-1){res = INF ; return ;}
        //如果t==-1，意味着在集合V找不到边连向集合S，生成树构建失败，将res赋值正无穷表示构建失败，结束函数
        book[t] = true;//如果找到了这个点，就把它加入集合S
        res+=dist[t];//加上这个点到集合S的距离
        for(int j = 2 ; j <= n ; j++)dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);//用新加入的点更新dist[]
    }
}

代码实战

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，也许看完了上面的解析，你已经最prim算法有了一个大致的了解，学习算法，大致的了解是远远不够的，代码的实践永远是最重要的，学习完一个算法后一定要去自己亲手试试，每个人都有自己的代码风格，大家大可以在自己的风格之上写出自己的prim。

prim习题	简介	难度
P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 \| 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)	模板题	★☆☆☆☆
P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输 - 洛谷 \| 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)	基本应用	★☆☆☆☆
P1991 无线通讯网 - 洛谷 \| 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)	基本应用	★☆☆☆☆

第一题是模板，后面两题主要是更好得帮助我们理解最小生成树——prim在实际和题目中得应用。

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