数位dp

思想

一般来说，题目是要求在区间\([l,r]\)中符合某一种条件的数的个数

我们用前缀和的思想考虑，分别求出\([1,r]\)和\([1,l-1]\)中数的个数相减即为所求

这里采用记忆化搜索的方式实现

模板

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#define int long long//这是因为数位问题的结果一般比较大，直接使用longlong
int dp[N][N][……];//DP数组，第一维代表数的长度，其他维由具体问题决定
vector<int>nums;//分解出的每一位数字
int len;
int dfs(int pos, status, int limit, int zero){
    if(pos>len) return //根据status返回结果，不是0就是1;
    if(!zero && !limit && dp[pos][status]!=-1) return dp[pos][status];
    int last = limit ? nums[len-pos-1] : 9;
    int ans = 0;
    for(int i=0;i<=last;++i){
        ans += dfs(pos-1,newStatus,newLead,limit&&i==last);
    }
    if(!zero&&!limit) dp[pos][status] = ans;
        return ans;
}
int calc(int n){
    if(!n) return //视具体情况
    nums.clear();
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;
    len = nums.size();
    return dfs(0,……)
}

说明

\(zero\)表示是否有前导零，当考虑的数是否需要记录和数位中0有关的数时需要前导零标记,无关时可以没有\(zero\)标记

举个例子：假如我们要从 \([0,1000]\) 找任意相邻两数相等的数

显然 \(111,222,888\) 等等是符合题意的数

但是我们发现右端点 \(1000\) 是四位数

因此我们搜索的起点是 \(0000\) ，而三位数的记录都是 \(0111,0222,0888\) 等等

而这种情况下如果我们直接找相邻位相等则 \(0000\) 符合题意而 \(0111,0222,0888\) 都不符合题意了

所以我们要加一个前导0标记

例题1 Windy数

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[12][12],len;
vector<int>nums;
int dfs(int pos,int pre, int limit,int zero){
	if(pos>len-1) return 1;
	if(!limit&&!zero&&dp[pos][pre]!=-1) return dp[pos][pre];
	int ans = 0;
	int res = limit?nums[len-pos-1]:9;
	for(int i=0;i<=res;i++){
		if(i<pre+2&&i>pre-2&&!zero) continue;
		ans += dfs(pos+1,i,limit&&(i==res),!i&&zero);
	}
	if(!limit&&!zero) dp[pos][pre] = ans;
	return ans;
}
int calc(int n){
	if(n==0) return 1;
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	nums.clear();
	while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;
	len = nums.size();
	return dfs(0,-2,1,1);
}
int main(){
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<calc(b)-calc(a-1);
	return 0; 
} 

例题2 手机号码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
int f[15][15][15][2][2][2],len; 
//[位置][前一位][前两位][是否有8][是否有4][是否连续3个] 
vector<int>nums;
int dfs(int pos,bool limit,int pre1,int pre2,bool _8,bool _4,bool _3){

	if(_8&&_4) return 0;
	if(pos>len-1) return _3;
	if(!limit&&f[pos][pre1][pre2][_8][_4][_3]!=-1) return f[pos][pre1][pre2][_8][_4][_3];
	int ans = 0;
	int res = limit?nums[len-pos-1]:9;
	for(int i=0;i<=res;i++){
		ans+=dfs(pos+1,limit&&(i==res),i,pre1,_8||i==8,_4||i==4,_3||(i==pre1&&pre1==pre2));
	}
	if(!limit) f[pos][pre1][pre2][_8][_4][_3] = ans;
	return ans;
}
int calc(int n){
	memset(f,-1,sizeof f);
	nums.clear();
	while(n){
		nums.push_back(n%10);
		n/=10;
	}
	if(nums.size()!=11) return 0;
	int res = 0;
	len = nums.size();
	for(int i=1;i<=nums[len-1];i++){
		res+=dfs(1,i==nums[len-1],i,0,i==8,i==4,0);
	}

	return res;
}
signed main(){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	cout<<calc(r)-calc(l-1)<<endl;
	return 0;
} 

例题3 圆数

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[35][35][35],len;
vector<int>nums;
int dfs(int pos,int sum1,int sum0,int limit,int zero){
	if(pos>len-1) return sum0>=sum1;
	if(!limit&&!zero&&f[pos][sum1][sum0]!=-1) return f[pos][sum1][sum0];
	int ans = 0;
	int res = limit?nums[len-pos-1]:1;
	for(int i=0;i<=res;i++){
		if(zero&&(!i)) ans+=dfs(pos+1,0,0,limit&&i==res,1);
		else{
			ans+=dfs(pos+1,sum1+(i==1),sum0+(i==0),limit&&i==res,0); 
		}
	}
	if(!limit&&!zero) f[pos][sum1][sum0] = ans;
	return ans;
}
int calc(int n){
	if(!n) return 1;
	nums.clear();
	memset(f,-1,sizeof f);
	while(n) nums.push_back(n%2),n/=2;
	len = nums.size();
	int res = 0;
	res += dfs(0,0,0,1,1);
	return res;
}
int main(){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	cout<<calc(r)-calc(l-1);
	return 0;
}

例题4 同类分布

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
int f[20][200][200],len,mod;
vector<int>nums;
int dfs(int pos,int sum,int st,int limit){
	if(pos>len-1) return sum==mod&&st==0;
	if(!limit&&f[pos][sum][st]!=-1) return f[pos][sum][st];
	int ans = 0;
	int res = limit?nums[len-pos-1]:9;
	for(int i=0;i<=res;i++){
		ans+=dfs(pos+1,sum+i,(10*st+i)%mod,limit&&(i==res));
	}
	if(!limit) f[pos][sum][st] = ans;
	return ans;
}
int calc(int n){
	if(!n) return 0;
	nums.clear();
	int res = 0;
	while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;
	len = nums.size();
	for(mod=1;mod<=9*len;mod++){
		memset(f,-1,sizeof f);
		res+=dfs(0,0,0,1);
	}
	return res;
}
signed main(){
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<calc(b)-calc(a-1);
	return 0;
}