定理2-2（算术基本定理）：任何非零整数n可以表示出如下乘积形式：n=±p1e1...prer。其中，p1...pr是互不相同的素数，e1...er是正整数.
存在性（任何非零整数n可以表示出如下乘积形式：n=±p1e1...prer）
证明：
n=1：n是0个素数的乘积，存在性成立.
n>1:
假设所有小于n的正整数都可以表示成素数的乘积。
对于n，分两种情况：
若n本身是素数，明显成立.
若n是合数，存在整数1<a<n,1<b<n,使得n=ab.
a,b都可以表示成素数的乘积，那么ab=n也可以，存在性成立.
定理7-1:设p是素数，a,b∈Z，则p|ab→p|a或p|b
推论：设p是素数，a1,...,ak∈Z，则p|a1..ak→p|ai,i∈
唯一性（p1...pr=q1..qs,p1,...pr中可以有重复素数,q1..qs也可以有重复素数）
证明：
r=0:必有s=0,唯一性成立.
r>0:必有s>0.假设r-1时，唯一性成立。对于r，考虑素数p1,既然p1是等式左边的因子，它必然是右边的因子。即：p1|q1...qs.
根据推论，必有qj，使得p1|qj,因为qj是素数，所以p1=qj。
从等式两边消掉p1和qj。左边变成r-1的情况，根据归纳假设，r-1时满足唯一性。
所以r时也满足唯一性.得证.
例一：实数集合R，二元关系"="。有：
自反性：对于所有a∈R，都有a=a;
对称性：对于所有a,b∈R，都有a=b→b=a;
传递性：对于所有a,b,c∈R，都有a=b,b=c→a=c;
例二：全体三角形集合T，二元关系"≌".有：
自反性：对于所有△A∈T，都有△A≌△A。
对称性：对于所有△A，△B∈T，都有△A≌△B
传递性：对于所有△A,△B,△C∈T，都有△A≌△B，可知△A≌△C.
定义：设集合S，定义在S上的二元关系R。如果R满足以下性质，则称它为“等价关系”：
自反性：对于所有a∈S，都有(a,a)∈R
对称性：对于所有a,b∈S，都有(a,b)∈R→(b,a)∈R
传递性：对于所有a,b,c∈S→(a,c)∈R
例三：S=R，二元关系R={(x,y):x2=y2,x,y∈S}
自反性：对于所有x∈S，都有x2=x2,所以(x,x)∈R
对称性：对于所有x,y∈S→x2=y2→y2=x2→(y,x)∈R
传递性：对于所有x,y,z∈S，都有(x,y)∈R，(y,z)∈R→x2=y2,y2=z2→x2=z2→(x,z)∈R.
例四（非等价关系）实数集合R、二元关系">".
存在x∈R，x>x不成立.(非自反)
存在x,y∈R，有x>y成立但y>x不成立(非对称)
对于所有x,y,z∈R，都有x>y,y>z→x>z.
a≡b(mod n):设n为正整数，整数a和b分别模n，如果得到相同的余数，就称a和b在模n下满足同余关系(congruence relation)，简称同余.
定义（同余关系）：设a,b,n∈Z，n>0，如果n|(a-b)，就称a和b在模n下同余，记作a≡b(mod n).
令a=q1n+r1,b=q2n+r2。有a-b=(q1-q2)n+(r1-r2)=qn(r1-r2=0).
性质:a≡b(mod n)↔a=qn+b,存在q∈Z
令a=q1n+r,b=q2n+r
有a=q1n+b-q2n
=(q1-q2)n+b
=qn+b
→(a-b)=qn
同余运算法则：
a≡b(mod n)：
a+m≡b+m(mod n),m∈Z
a-m≡b-m(mod n),m∈Z
axm≡bxm(mod n),m∈Z
am≡bm(mod n),m∈N
定义（乘法逆元）：设a∈Z,n∈N,如果az≡1(mod n),称z是模n下a的乘法逆元,记作a^-1=z.
a的乘法逆元是z=a-1,z=a-1的乘法逆元是a
z-1=(a-1)-1=a((-1)x(-1))=a
有三点需要注意：
1.模n下互为乘法逆元，一般只考虑比n小的.
2.a在模n内的乘法逆元a-1(1<=a-1<n)是唯一的.
3.乘法逆元存在的条件：gcd(a,n)=1 ↔ 模n下,a有乘法逆元.
设gcd(a,n)=d(d>1).
假设a^-1=b,则ab≡1(mod n)，有ab=qn+1,
即ab-qn=1
因为,d|a,d|n
所以,d|1,矛盾，假设不成立.
扩展的欧几里得算法：
设gcd(a,n)=1
根据裴蜀定理，有
as+tn=1
等式两边模n，得
as≡1(mod n)
易知，模n下a的逆元是s
我的问题的一个例子是体育游戏。一场体育比赛有两支球队，一支主队和一支客队。我的事件记录模型如下:classTeam"Team"has_one:away_team,:class_name=>"Team"end我希望能够通过游戏访问一个团队，例如:Game.find(1).home_team但我收到一个单元化常量错误:Game::team。谁能告诉我我做错了什么？谢谢， 最佳答案 如果Gamehas_one:team那么Rails假设您的teams表有一个game_id列。不过，您想要的是games表有一个team_id列，在这种情况下
首先回顾一下拉格朗日定理的内容：函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续、开区间(a,b)上可导的函数，那么至少存在一个，使得:通过这个表达式我们可以知道，f(x)是函数的主体，a和b可以看作是主体函数f(x)中所取的两个值。那么可以有， 也就意味着我们可以用来替换 这种替换可以用在求某些多项式差的极限中。方法： 外层函数f(x)是一致的，并且h(x)和g(x)是等价无穷小。此时，利用拉格朗日定理，将原式替换为 ，再进行求解，往往会省去复合函数求极限的很多麻烦。使用要注意：1.要先找到主体函数f(x)，即外层函数必须相同。2.f(x)找到后，复合部分是等价无穷小。3.要满足作差的形式。如果是加
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Rails相对较新。我正在尝试调用一个API，它应该向我返回一个唯一的URL。我的应用程序中捆绑了HTTParty。我已经创建了一个UniqueNumberController，并且我已经阅读了几个HTTParty指南，直到我想要什么，但也许我只是有点迷路，真的不知道该怎么做。基本上，我需要做的就是调用API，获取它返回的URL，然后将该URL插入到用户的数据库中。谁能给我指出正确的方向或与我分享一些代码？ 最佳答案 假设API为JSON格式并返回如下数据:{"url":"http://example.com/unique-url"
在添加一些空格以使代码更具可读性时(与上面的代码对齐)，我遇到了这个:classCdefx42endendm=C.new现在这将给出“错误数量的参数”:m.x*m.x这将给出“语法错误，意外的tSTAR，期待$end”:2/m.x*m.x这里的解析器到底发生了什么？我使用Ruby1.9.2和2.1.5进行了测试。 最佳答案 *用于运算符(42*42)和参数解包(myfun*[42,42])。当你这样做时:m.x*m.x2/m.x*m.xRuby将此解释为参数解包，而不是*运算符(即乘法)。如果您不熟悉它，参数解包(有时也称为“spl
有没有办法在Rails中为确认字段自定义消息？例如在设计中我必须输入密码和password_confirmation并且错误消息是:Passwordconfirmationdoesn'tmatchPassword我可以更改事件记录语言环境消息(“不匹配”)，但它会在该语言环境消息的开头和结尾输出密码确认和密码，所以我得到如下内容:"PasswordconfirmationmustmatchPassword"有没有办法将其更改为不同的字符串？PasswordconfirmationandPasswordmustmatch.编辑另一件事是拥有完全自定义的消息，例如:'Setpassword
有没有人用ruby解决这个问题:假设我们有:a=8.1999999我们想将它四舍五入为2位小数，即8.20，然后乘以1,000,000得到8,200,000我们是这样做的；(a.round(2)*1000000).to_i但是我们得到的是8199999，为什么？奇怪的是，如果我们乘以1000、100000或10000000而不是1000000，我们会得到正确的结果。有人知道为什么吗？我们正在使用ruby1.9.2并尝试使用1.9.3。谢谢! 最佳答案 每当你在计算中得到时髦的数字时使用bigdecimalrequire'bi
我想合并多个事件记录关系例如，apple_companies=Company.where("namelike?","%apple%")banana_companies=Company.where("namelike?","%banana%")我想结合这两个关系。不是合并，合并是apple_companies.merge(banana_companies)=>Company.where("namelike?andnamelike?","%apple%","%banana%")我要Company.where("名字像？还是名字像？","%apple%","%banana%")之后，我会写代
