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【开卷数据结构 】平衡二叉树(AVL)

锡兰_CC 2024-04-24 原文

目录

平衡二叉树的定义

平衡二叉树的插入

LL平衡旋转(右单旋转)

RR平衡旋转(左单旋转)

LR平衡旋转(先左后右双旋转)

RL平衡旋转(先右后左双旋转)

平衡二叉树的构建

平衡二叉树的查找


平衡二叉树的定义

Q:什么是二叉排序树

A:二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有如下性质的二叉树

  • 1)若它的左子树不空,则 左子树 上所有结点的值 均小于 它的根结点的值
  • 2)若它的右子树不空,则 右子树 上所有结点的值 均大于 它的根结点的值
  • 3)左、右子树也分别是一棵二叉排序树

Q:什么是平衡二叉树

A:它或者是一颗空树,或者是具有以下性质的二叉排序树:它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1,且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子,则平衡二叉树结点的平衡因子只可能是 -1,0,1。

平衡二叉树的插入

每当在二叉排序树中插入(或删除)一个结点时,首先要检查其插入路径上的结点是否因为此次操作而导致了不平衡。若导致了不平衡,则先找到路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点 A,再对以 A 为根的子树,在保持排序树特性的前提下,调整各结点的位置关系,使之重新达到平衡。

平衡二叉树的插入过程的前半部分与二叉排序树相同,但在新结点插入后,若造成查找路上的某个结点不再平衡,则需要做出相应的调整。可将调整的规律归纳为下列4种情况:


LL平衡旋转(右单旋转)


由于在结点A的左孩子(L)的左子树(L)上插入了新结点,A 的平衡因子由 1 增至 2 ,导致以 A 为根的子树失去平衡,需要一次向右的旋转操作,将 A 的左孩子 B 向右上旋转代替 A 成为根结点,将 A 结点向右下旋转成为 B 的右子树的根结点,而 B 的原右子树则作为 A 结点的左子树。


RR平衡旋转(左单旋转)


由于在结点 A 的右孩子(R)的右子树(R)上插入了新结点,A 的平衡因子由 −1 减至 −2,导致以 A 为根的子树失去平衡,需要一次向左的旋转操作。将 A 的右孩子 B 向左上旋转代替 A 成为根结点,将 A 结点向左下旋转成为 B 的左子树的根结点,而 B 的原左子树则作为 A 结点的右子树的。


LR平衡旋转(先左后右双旋转)


在 A 的左孩子(L)的右子树(R)上插入新结点,A 的平衡因子由1增至2,导致以 A 为根的子树失去平衡,需要进行两次旋转操作,先左旋转后右旋转。先将 A 结点的左孩子 B 的右子树的根结点 C 向左上旋转提升到 B 结点的位置,然后把该 C 结点向右上旋转提升到 A 结点的位置。


RL平衡旋转(先右后左双旋转)


由于在 A 的右孩子(R)的左子树(L)上插入新结点,A 的平衡因子由 −1减至 −2,导致以 A 为根的子树失去平衡,需要进行两次旋转操作,先右旋转后左旋转。先将 A 结点的右孩子 B 的左子树的根结点 C 向右上旋转提升到 B 结点的位置,然后把该 C 结点向左上旋转提升到 A 结点的位置。

平衡二叉树的构建

假设关键字序列为{6,1,2,5,4,3},通过该序列生成二叉排序树的过程如下:

第一步:创建一个空树

第二步:插入结点 6

第三步:插入结点 1

第四步:插入结点 2

第五步:LR旋转

第六步:插入结点 5

第七步:插入结点 4

第八步:LL旋转

第九步:插入结点 3

第十步:RL旋转

平衡二叉树的查找

在平衡二叉树上进行查找的过程与二叉排序树的相同。因此,在查找过程中,与给定值进行比较的关键字个数不超过树的深度。假设以 nh,表示深度为 h 的平衡树中含有的最少结点数。显然,nh有 n0=0,n1=1,n2=2, 并且有 nh=nh−1+nh−2+1。 可以证明,含有 n 个结点的平衡二叉树的最大深度为 O(log2⁡n),因此平衡二叉树的平均查找长度为 O(log2⁡n)。

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