2023 年第十三届 MathorCup 高校数学建模挑战赛B题解析
题 城市轨道交通列车时刻表优化问题
列车时刻表优化问题是轨道交通领域行车组织方式的经典问题之一。
列车时刻表规定了列车在每个车站的到达和出发（或通过）时刻，其在实
际运用过程中，通常用列车运行图来表示。图 1 为某一运行图的示例，图
中每一条线表示一趟列车，横轴表示车站，纵轴表示时间，每一条线反映
了一趟列车在不同时刻所处的相对位置，也称为运行线。比如，图中红色
运行线表示，列车于 9：02 分从 D 站出发，于 9：05 分到达 C 站，停留 1
分钟后出发，于 9：09 分到达 B 站，停留 1 分钟后出发，于 10：03 分到达
A 站。
图 1： 列车运行图示意图
实际运营中，在铺画列车运行图之前，首先得先确定列车开行方案，
列车开行方案包括列车编组方案、列车停站方案和列车交路计划三部分。
列车编组方案规定了列车的车型和编组数量（即列车的节数），在本问
题中采用统一的车型和编组数量。
2
列车停站方案是规定列车在哪些站点停站的方案，在本问题中均采用
站站停的停站方案（即列车在每个经过的车站都会停车）。
列车交路计划是指列车在规定的运行线路上往返运行的方式，即规定
了列车在哪些站点之间运行以及开行的数量。大小交路模式是城轨运营中
常用的交路模式，是指城市轨道交通运行线路的长短区间。通俗讲，大交
路是指列车跑完全程，小交路是指将全程中的某两个站作为临时起点或终
点来跑，需要注意的是，只有具有折返能力的车站（能让列车调头的车站）
才能作为交路的起点或终点。图 2 为某大小交路方案示意图，表示以 A 站
为起点的，D 站为终点大交路区间开行 10 对列车，以 A 站为起点，C 站为
终点小交路区间开行 5 对列车。
在大小交路方案中，大小交路列车开行列数通常为 1:n 或 n:1 两种模式，
即每开行 n 列大（小）交路列车后，开行一列小（大）交路列车，并且小
交路所经过的车站数量需有一定限制：小交路区间过短会导致列车的折返
频繁，使运营成本增加；小交路区间过长则无法体现大小交路运营模式的
作用。
图 2： 大小交路示意图
3
在大小交路的运营模式下，乘客通常会被分为 6 种类型，如图 3 所示，
其中 s1− sn为大交路区间，sa − sb为小交路区间。
第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ类乘客起点均位于[s1, sa]，终点无论位于哪个区间，乘客
都只能乘坐大交路列车。
第Ⅳ，Ⅴ类乘客起点均位于[sa, sb]。其中第Ⅳ类乘客终点位于[sa, sb]，
乘客既可乘坐大交路列车，也可乘坐小交路列车；第Ⅴ类乘客终点位于
[sa, sn]，乘客可以乘坐小交路列车之后到sb进行换乘，也可直接乘坐大交路
列车。
第Ⅵ类乘客起点位于[sb, sn]，终点位于[sb, sn]，乘客只能乘坐大交路
列车。
图 3 ：乘客类型分类示意图
在列车开行方案的制定中，需要以最小的企业运营成本和最大的服务
水平(乘客在车时间和乘客等待时间)来满足客流的需求，企业的运营成本包
括固定成本（所需车辆的数量）和变动成本（列车总走行公里）两部分组
成。受到车站通过能力的制约和服务水平的要求，在一定时间内，列车的
发车数量也有一定的限制。
在制定好列车开行方案后，可根据该方案同样以企业运营成本最小化
和服务水平最大化为目标铺画列车运行图，即确定每趟列车的出发和到达
的具体时刻。现有的列车时刻表通常为等间隔的平行运行图，即发车间隔
（如每 5 分钟开行一趟列车）和在同一站点的停站时间相等。发车间隔的
长短会有一定的限制：发车间隔过短，则会影响列车运行的安全；发车间
隔过长，则会增长乘客的平均等待时间，从而影响服务水平。同样地，停
站时间也需受到一定限制，一般来说列车在车站的停站时间正比于在该站
上、下车的乘客数量。另外，需要注意的是，两列车在同一区间追踪运行
时，需保留一定的安全间隔（追踪间隔时间）。
采用大小交路运营模式的列车运行图，大交路列车和小交路列车一般
会交替开行，比如当大交路列车与小交路列车的比例为 2：1 时，则会以每
3 列车为一个组合（前 2 列车为大交路列车，第三列车为小交路列车）滚
动发车。
在下列问题中，只需制定单向的列车时刻表即可。
问题一：在满足客流需求的条件下，以企业运营成本最小化和服务水
平最大化为目标，制定列车开行方案。即确定大交路区间列车的开行数量，
小交路的运行区间以及开行数量。（输出格式详见附件 6）
问题二：在问题一制定的列车开行方案下，同样以企业运营成本最小
化和服务水平最大化且尽量满足客流需求为目标，制定等间隔的平行运行
图。（输出格式详见附件 7，并将附件 7 单独上传到竞赛系统中）
问题三：对于降低企业运营成本和提高服务水平，你们团队有哪些好
的方法或建议？基于客流和车站数据，提供相应的量化分析支持
数学建模主要是让大家构建自己的模型，只要能解决问题的模型就是好模型，无标准答案。我个人的分析过程大致如下文，仅个人观点不一定是正确的，不说太多怕限制了大家的思维哈哈哈
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所有题目均有五种语言实现。C实现目录、C++实现目录、Python实现目录、Java实现目录、JavaScript实现目录题目n行m列的矩阵，每个位置上有一个元素你可以上下左右行走，代价是前后两个位置元素值差的绝对值.另外，你最多可以使用一次传送阵(只能从一个数跳到另外一个相同的数)求从走上角走到右下角最少需要多少时间。输入描述：第一行两个整数n,m，分别代表矩阵的行和列。后面n行，每行m个整数，分别代表矩阵中的元素。输出描述：一个整数，表示最少需要多少时间。
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