数据结构：三元组的构建、相加和快速转置

业余小程序猿 2023-12-10 原文

1.三元组表的定义

三元组研究目的对于在实际问题中出现的大型的稀疏矩阵，若用常规分配方法在计算机中储存，将会产生大量的内存浪费，而且在访问和操作的时候也会造成大量时间上的浪费，为了解决这一问题，从而产生了多种解决方案。由于其自身的稀疏特性，通过压缩可以大大节省稀疏矩阵的内存代价。

主要是用来存储稀疏矩阵的一种压缩方式，也叫三元组表。假设以顺序存储结构来表示三元组表（triple table），则得到稀疏矩阵的一种压缩存储方式，即三元组顺序表，简称三元组表。

2.三元组表的数据结构

#define MAX 1000

typedef struct
{
	int row,col,e;    //数据所在的行、列，数值
}Triple;

typedef struct
{
	Triple  data[MAX+1];
	int mu,nu,tu;		//矩阵的行数，列数和非零元个数
}TSMatrix;

3.三元组表的构建

思路：从第一行开始遍历查找非零元素，存入三元组表data[tu]中，data[tu].row=i，data[tu].col=j，data[tu].e=a[i][j]

void input(TSMatrix *p,int m,int n)
{
	int i,j;
	int a[100][100];
	for( i=1;i<=m;i++)    //随机生成稀疏矩阵
	for(j=1;j<=n;j++)
	{
		if(1+rand()%4>=1+rand()%19)
			a[i][j]=1+rand()%99;
		else
			a[i][j]=0;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){    //打印出该稀疏矩阵
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{

		printf("%4d",a[i][j]);
	}printf("\n");
	}
	p->tu=0;    //三元组表的总个数
	for(i=1;i<=m;i++)    //进行查找非零元素进行存储
	for(j=1;j<=n;j++)
	{
		if(a[i][j]!=0)
		{
		p->data[p->tu].row=i;	//行
		p->data[p->tu].col=j;	//列
		p->data[p->tu].e=a[i][j];	//	数据
		++p->tu;
		}
	}

}

4.输出三元组表

void printTriple(TSMatrix *p)
{
	printf("\n三元组：\n");
	for(int i=0;i<p->tu;i++)
	{
		printf("%4d %4d %4d\n",p->data[i].row,p->data[i].col,p->data[i].e);
	}
}

5.两个三元组表相加

思路：两个三元组分别标记两个遍历用的i，j，每次都比较i和j所在位置的row、col值；先比较row的大小，如果i的row小于j的，那就先填i的，然后i++填下一个；如果i和j的row都相同，就去比col，然后i的col小于j，者填i，否则填j的。

如果A与B的row和col都相同，就把row和col分别相加，再存入C中

如果i遍历完，j没遍历完，把j剩余的全放入新的三元组表中；如果i没遍历完，j遍历完，把i剩余的全放入新的三元组表中。

通俗的解释：这个就类似于小编之前的写的顺序表和合并的思路。大家也可以回顾一下两个顺序表的合并思路，联系起来。数据结构：两个顺序表合并算法_业余小程序猿的博客-CSDN博客

注意：只有两个相同行列的矩阵才能相加，所以相加之前要先判断一下能不能。

代码的流程图

实现代码


void sum(TSMatrix *A,TSMatrix *B,TSMatrix *C)
{
	C->mu=A->mu;    //只有两个行列相同的矩阵才能相加
	C->nu=A->nu;    //所以用A或B都一样
	C->tu=0;
	if(A->mu!=B->mu&&A->nu!=B->nu){
		printf("矩阵要大小相同才能相加！");
		return ;
	}
	int i=0,j=0;
	while(i<A->tu&&j<B->tu)
	{
		if(A->data[i].row<B->data[j].row)    //A的row<B的，C中加入A的
		{
			C->data[C->tu].row=A->data[i].row;	//行
			C->data[C->tu].col=A->data[i].col;	//列
			C->data[C->tu].e=A->data[i].e;	//	数据
			C->tu++;
			i++;
		}
		else if(A->data[i].row==B->data[j].row)    //A的row=B的，再继续比较col
		{
			if(A->data[i].col<B->data[j].col)    //A的col<B的，C中加入A的
			{
			C->data[C->tu].row=A->data[i].row;	//行
			C->data[C->tu].col=A->data[i].col;	//列
			C->data[C->tu].e=A->data[i].e;	//	数据
			C->tu++;
			i++;			
			}
			else if(A->data[i].col>B->data[j].col) //A的col>B的，C中加入B的
			{
			C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
			C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
			C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
			C->tu++;
			j++;
			}
			else    //A的col=B的，先把A和B的row和col分别相加，再存入C中
			{
				if(B->data[j].e+A->data[i].e!=0)
				{
					C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
					C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
					C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
					C->tu++;
				}
				i++;
				j++;
			}
		}
		else    //A的row>B的，C中加入B的
		{
			C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
			C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
			C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
			C->tu++;
			j++;			
		}
	}
	while(i<A->tu)//如果A剩余，把A剩余的全放入C中
	{
		C->data[C->tu].row=A->data[i].row;	//行
		C->data[C->tu].col=A->data[i].col;	//列
		C->data[C->tu].e=A->data[i].e;	//	数据
		C->tu++;
		i++;		
	}
	while(j<B->tu)//如果B剩余，把B剩余的全放入C中
	{
		C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
		C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
		C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
		C->tu++;
		j++;
	}

}

6.三元组表的快速转置

转置定义：将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。

算法思想

矩阵的转置就是讲行列互换位置，如果普通两层循环进行循环的，时间复杂度就会变成 $O(n^{2})$ ,。所以我们要想办法把只进行一层循环就能完成转置。

所以就要设置两个数值num[]和cpot[]，num[]用于存储每列非零元素的个数，cpot[]用于存储每列第一个非零元素的初始位置。知道了每列非零元素的初始位置和非零元素的个数，而且列都是按大小来排的，所以转置时候一定的先遇到列数小的先放入，不用担心大小顺序会不同。于是就可以对三元组表进行一次遍历存储。

代码实现

void Transposition(TSMatrix *p,TSMatrix *q)
{
	q->nu=p->mu;
	q->mu=p->nu;
	q->tu=p->tu;//把行列数值对换，大小不变
	if(q->tu)    //如果三元组为空就不用
	{
		int i;
		int num[100],cpot[100];
		for(i=0; i<p->mu;i++)
			num[i]=0;		//初始化数组
		for(i=0;i<p->tu;i++)    //找出每列非零元个数，i=0存的第一列的
			++num[p->data[i].col - 1];
		cpot[0]=0;
		for(i=1;i<p->nu;i++)    //求每列第一个非零元素所在位置
			cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
		int a,b;
		for(i=0;i<p->tu;i++)    //进行转置
		{
			
			b=p->data[i].col-1;   
			a=cpot[b];    //找出每列所在位置 
			q->data[a].row = p->data[i].col;    //将其放入另外一个三元组表中
			q->data[a].col = p->data[i].row;
			q->data[a].e = p->data[i].e;
			++cpot[b];    //让其下次找到该列中的下一个非零元素
		}

	}
	
}

时间复杂度：O(nu+tu)

三元组顺序表又称有序的双下标法，它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。然而，若需按行号存取某一行的非零元，则需从头开始进行查找。

7.三元组表输出矩阵

void output(TSMatrix *p)
{
	printf("输出矩阵：\n");
	int i,j,k=0,a=0;
	for(i=1;i<=p->mu;i++){
		for(j=1;j<=p->nu;j++)
		{
			if(p->data[k].row==i&&p->data[k].col==j)
			{
				printf("%3d",p->data[k].e);
				k++;
			}
			else
				printf("%3d",a);
		}
		printf("\n");
	}
}

8.全部代码


#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX 1000

typedef struct
{
	int row,col,e;
}Triple;

typedef struct
{
	Triple  data[MAX+1];
	int mu,nu,tu;		//矩阵的行数，列数和非零元个数
}TSMatrix;

void input(TSMatrix *p,int m,int n)
{
	int i,j;
	int a[100][100];
	for( i=1;i<=m;i++)
	for(j=1;j<=n;j++)
	{
		if(1+rand()%4>=1+rand()%19)
			a[i][j]=1+rand()%99;
		else
			a[i][j]=0;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{

		printf("%4d",a[i][j]);
	}printf("\n");
	}
	p->tu=0;
	for(i=1;i<=m;i++)
	for(j=1;j<=n;j++)
	{
		if(a[i][j]!=0)
		{
		p->data[p->tu].row=i;	//行
		p->data[p->tu].col=j;	//列
		p->data[p->tu].e=a[i][j];	//	数据
		++p->tu;
		}
	}

}

void printTriple(TSMatrix *p)
{
	printf("\n三元组：\n");
	for(int i=0;i<p->tu;i++)
	{
		printf("%4d %4d %4d\n",p->data[i].row,p->data[i].col,p->data[i].e);
	}
}

void sum(TSMatrix *A,TSMatrix *B,TSMatrix *C)
{
	C->mu=A->mu;
	C->nu=A->nu;
	C->tu=0;
	if(A->mu!=B->mu&&A->nu!=B->nu){
		printf("矩阵要大小相同才能相加！");
		return ;
	}
	int i=0,j=0;
	while(i<A->tu&&j<B->tu)
	{
		if(A->data[i].row<B->data[j].row)
		{
			C->data[C->tu].row=A->data[i].row;	//行
			C->data[C->tu].col=A->data[i].col;	//列
			C->data[C->tu].e=A->data[i].e;	//	数据
			C->tu++;
			i++;
		}
		else if(A->data[i].row==B->data[j].row)
		{
			if(A->data[i].col<B->data[j].col)
			{
			C->data[C->tu].row=A->data[i].row;	//行
			C->data[C->tu].col=A->data[i].col;	//列
			C->data[C->tu].e=A->data[i].e;	//	数据
			C->tu++;
			i++;			
			}
			else if(A->data[i].col>B->data[j].col)
			{
			C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
			C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
			C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
			C->tu++;
			j++;
			}
			else
			{
				if(B->data[j].e+A->data[i].e!=0)
				{
					C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
					C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
					C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
					C->tu++;
				}
				i++;
				j++;
			}
		}
		else
		{
			C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
			C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
			C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
			C->tu++;
			j++;			
		}
	}
	while(i<A->tu)
	{
		C->data[C->tu].row=A->data[i].row;	//行
		C->data[C->tu].col=A->data[i].col;	//列
		C->data[C->tu].e=A->data[i].e;	//	数据
		C->tu++;
		i++;		
	}
	while(j<B->tu)
	{
		C->data[C->tu].row=B->data[j].row;	//行
		C->data[C->tu].col=B->data[j].col;	//列
		C->data[C->tu].e=B->data[j].e;	//	数据
		C->tu++;
		j++;
	}

}

void Transposition(TSMatrix *p,TSMatrix *q)
{
	q->nu=p->mu;
	q->mu=p->nu;
	q->tu=p->tu;
	if(q->tu)
	{
		int i;
		int num[100],cpot[100];
		for(i=0; i<p->mu;i++)
			num[i]=0;		//初始化数组
		for(i=0;i<p->tu;i++)
			++num[p->data[i].col - 1];
		cpot[0]=0;
		for(i=1;i<p->nu;i++)
			cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
		int a,b;
		for(i=0;i<p->tu;i++)
		{
			
			b=p->data[i].col-1;
			a=cpot[b];
			q->data[a].row = p->data[i].col;
			q->data[a].col = p->data[i].row;
			q->data[a].e = p->data[i].e;
			++cpot[b];
		}

	}
	
}

void output(TSMatrix *p)
{
	printf("输出矩阵：\n");
	int i,j,k=0,a=0;
	for(i=1;i<=p->mu;i++){
		for(j=1;j<=p->nu;j++)
		{
			if(p->data[k].row==i&&p->data[k].col==j)
			{
				printf("%3d",p->data[k].e);
				k++;
			}
			else
				printf("%3d",a);
		}
		printf("\n");
	}
}

int main()
{
	
	TSMatrix	A,B,C,T;
	printf("输入A矩阵的行列数：\n");
	scanf("%d%d",&A.mu,&A.nu);
	input(&A,A.mu,A.nu);
	printTriple(&A);
	printf("\n输入B矩阵的行列数：\n");
	scanf("%d%d",&B.mu,&B.nu);
	input(&B,B.mu,B.nu);
	printTriple(&B);
	sum(&A,&B,&C);
	printf("\nC的三元组：\n");
	printTriple(&C);
	output(&C);
	printf("\nA的转置：\n");
	Transposition(&A,&T);
	printTriple(&T);
	output(&T);
	getchar();
	getchar();
	return 0;
}

9.总结

三元组表在考研中，很多自主命题的大学喜欢考这个。在2021年安徽大学计算机专业考研中就出了一个15分的三元组快速转置的大题来考查学生（当年平均分在七八十分左右）。因为对于考生来说，三元组表很少有学生会认真思考，而且王道考研或者是其他考研资料，也很少讲三元组表方面的知识点。所以读者需要加强对三元组表的学习，尤其是快速转置。

相加数据结构 data gt 61 算法 c语言

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