混合背包就是将前面三种基本的背包问题叠加成较复杂的问题。也就是说，有的物品只可以取一次（0/1背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。

        0/1背包与完全背包的混合比较简单。如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用逆序（0/1背包）或顺序（完全背包）的循环即可。

       一般可以编写如下的循环。

​       for (i=1;i<=N;i++)                                            // 装入背包的物品个数为N

       {

              if  (第i件物品只能取1次)                         //  0/1背包

                      for (j=V;j>=W[i];j--)                         //  0/1背包按由大到小顺序枚举重量

                           f[j]=max(f[j],f[j-W[i]]+P[i]);

            else                                                         // 第i件物品可以取无数次，完全背包

                      for ( j=W[i];j<=V;j++)                     // 完全背包按由小到大顺序枚举重量

                          f[j]=max(f[j],f[j-W[i]]+P[i]);   

        }

        如果再加上多重背包，一般可以编写如下循环程序。

​         for (i=1;i<=N;i++)           // 装入背包的物品个数为N

        {

               if  (第i件物品只能取1次)                   //  0/1背包

              {

                      for (j=V;j>=W[i];j--)  

                            f[j]=max(f[j],f[j-W[i]]+P[i]);

              }

               else  if  (第i件物品可以取无数次)     // 完全背包

              {

                      for ( j=W[i];j<=V;j++)    

                             f[j]=max(f[j],f[j-W[i]]+P[i]);  

             }

            else  if  (第i件物品可以取c[i]次)           // 多重背包

            {

             for (j=V; j>=0; j--)  

                 for (k=0; k<=c[i] &&  k*W[i] <=j; k++)

                      f[j] = max( f[j], f[j - k * W[i]] + k *P[i]);

             }

        } 

【例1】最多的糖果数

问题描述

今天是CRB的生日。他妈妈决定给她可爱的儿子买很多礼物。

她带着M元（货币单位）去了最近的商店。

商店里有N种礼物。买一件第i种礼物要花Wi元。

但由于商店的老板是她的朋友，如果她买了x（x>0）件第i种礼物，花费x×Wi元，老板会送给她Ai×x+Bi颗糖果。

她想得到最多的糖果。你的任务是帮助她。

输入

有多个测试用例。输入的第一行包含一个整数T（1≤ T≤ 20），表示测试用例的数量。

对于每个测试用例：第一行包含两个整数M（1≤ M≤ 2000）和N（1≤ N≤ 1000）。接下来是N行，第i行包含三个空格分隔的整数Wi（1≤Wi≤2000）、Ai和Bi（0≤Ai，Bi≤2000）。

输出

对于每个测试用例，输出她能获得的最大糖果。

输入样例

1

100 2

10 2 1

20 1 1

输出样例

21

        （1）编程思路。

         对于第i件商品，如果只买1个，得到的价值是Ai+Bi；如果在买1个的基础上再买，得到的价值就是Ai。也就是说，第i件商品，除了第一次得到Ai+Bi颗糖果，以后购买都只得到Ai颗糖果，这样可以将第i件商品看成两种商品，其中两种商品的购买代价都是Wi，第一种的价值是Ai+Bi，但是只允许买一次；第二种的价值是Ai，可以无限次购买。第一种商品用0/1背包处理，第二种商品用完全背包处理，并且先进行0/1背包，再进行完全背包。由于第一种商品的价值Ai+Bi大于或等于第二种商品的价值，付出相同的代价，价值大的肯定会被先考虑，也就是在用完全背包处理第二种商品时，第一种商品肯定已经被添加到背包里了。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{
    int f[2005];
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        int m,n;
        scanf("%d%d", &m, &n);
        memset(f,0,sizeof(f));
        int w, a, b;
        int i,j;
        for (i = 1; i <=n; i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &w, &a, &b);
            for (j= m; j >= w; j--)    // 每个商品的第1件只买1次，0/1背包
                f[j] = max(f[j], f[j-w] + a + b);
            for (j = w; j<=m; j++)    // 每个商品之后可购买次数不限，完全背包
                f[j] = max(f[j], f[j-w] + a);
        }
        int ans = 0;
        for (i=0; i<=m; i++)
            ans = max(ans, f[i]);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

        将上面的源程序提交给HDU题库HDU 5410 CRB and His Birthday（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5410），测评结果为“Accepted”。

 【例2】樱花

题目描述

爱与愁大神后院里种了n棵樱花树，每棵都有美学值 Ci (0≤Ci≤200)。爱与愁大神在每天上学前都会来赏花。爱与愁大神可是生物学霸，他懂得如何欣赏樱花：一种樱花树看一遍过，一种樱花树最多看 Ai (0≤Ai≤100)遍，一种樱花树可以看无数遍。但是看每棵樱花树都有一定的时间Ti (0≤Ti≤100)。爱与愁大神离去上学的时间只剩下一小会儿了。求解看哪几棵樱花树能使美学值最高且爱与愁大神能准时（或提早）去上学。

输入

共 n+1行：

第1行：现在时间 Ts（几时：几分），去上学的时间 Te（几时：几分），爱与愁大神院子里有几棵樱花树 n。这里的Ts，Te格式为：hh:mm，其中0≤hh≤23，0≤mm≤59，且 hh,mm,n均为正整数。开始时间距离结束时间不超过 1000分钟，n≤10000。

第2行到第n+1 行，每行三个正整数：看完第i棵树的耗费时间Ti，第i棵树的美学值Ci，看第i棵树的次数Pi（Pi =0 表示无数次，Pi是其他数字表示最多可看的次数Pi）。

输出

只有一个整数，表示最大美学值。

输入样例

6:50 7:00 3

2 1 0

3 3 1

4 5 4

输出样例

11

样例解释

赏第一棵樱花树一次，赏第三棵樱花树2次。

        （1）编程思路1。

        一种樱花树看一遍过（0/1背包），一种樱花树最多看 Ai (0≤Ai≤100)遍（多重背包），一种樱花树可以看无数遍（完全背包）。

        设现在时间为h1：m1，去上学的时间为h2：m2，则limt=h2*60+m2-(h1*60+m1)就是背包的容量，将看樱花耗费的时间ti看成物品的重量，樱花的美学值看成物品的价值，按上面的介绍，3种背包混合时分别处理即可。

        （2）源程序1。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{
    int n,h1,m1,h2,m2;
    scanf("%d:%d %d:%d %d",&h1,&m1,&h2,&m2,&n);
    int limt=h2*60+m2-(h1*60+m1);
    int f[1005]={0};
    int i,j,k;
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        int t,c,p;
        scanf("%d%d%d",&t,&c,&p);
        if  (p==1)          //   看一次，0/1背包
        {
            for (j=limt;j>=t;j--)
                f[j]=max(f[j],f[j-t]+c);
        }
        else  if  (p==0)    // 看无数次，完全背包
        {
            for (j=t;j<=limt;j++)
                  f[j]=max(f[j],f[j-t]+c);
        }
        else               // 看pi次，多重背包
        {
             for (j=limt; j>=0; j--)
                 for (k=0; k<=p &&  k*t <=j; k++)
                      f[j] = max( f[j], f[j-k*t] + k *c);
        }
    }
    printf("%d\n",f[limt]);
    return 0;
}

        （3）编程思路2。

        可以将完全背包和多重背包均转化为0/1背包求解。樱花可以看无数遍，实际上由于背包容量的限制，最多也只能看limt/t遍，因此完全背包可看成一个物品取limt/t的多重背包，采用二进制拆分优化的方法将多重背包转换为0/1背包统一求解。

        （4）源程序2。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int t[1000005],c[1000005];
int main()
{
    int n,h1,m1,h2,m2;
    scanf("%d:%d %d:%d %d",&h1,&m1,&h2,&m2,&n);
    int limt=h2*60+m2-(h1*60+m1);
    int i,j;
    int cnt=0;
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
        if (p==0) p=p=limt/a;
        for (j=1;j<=p;j<<=1)
        {
            t[++cnt]=j*a;
            c[cnt]=j*b;
            p-=j;
        }
        if (p)
        {
            t[++cnt]=a*p;
            c[cnt]=b*p;
        }
    }
    int f[1005];
    memset(f,0,sizeof(f));
    for (i=1;i<=cnt;i++)
        for (j=limt;j>=t[i];j--)
            if (f[j]<f[j-t[i]]+c[i]) f[j]=f[j-t[i]]+c[i];
    printf("%d\n",f[limt]);
    return 0;
}

        将上面的源程序提交给洛谷题库P1833 樱花（https://www.luogu.com.cn/problem/P1833），测评结果为“Accepted”。

练习题

1．P1782 旅行商的背包（https://www.luogu.com.cn/problem/P1782）

#include <stdio.h>
long long max(long long a,long long b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{
    long long n,m,C;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&C);
    long long f[10005]={0};
    long long i,j,k;
    for (i=1;i<=n;i++)          // n种物品多重背包
    {
        long long v,w,d;
        scanf("%lld%lld%lld",&v,&w,&d);
        if (v*d>=C)
        {
           for (j=v;j<=C;j++)
              f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
        }
        else
        {
           k=1;
           while (k<d)
           {
              for (j=C;j>=k*v;j--)
                   f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
              d-=k;
              k*=2;
           }
           if (d>0)
           {
               for (j=C;j>=d*v;j--)
                  f[j]=max(f[j],f[j-d*v]+d*w);
           }
        }
    }
    for (i=1;i<=m;i++)         // m件奇货是0/1背包
    {
        long long a,b,c;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
        for (j=C;j>=0;j--)
            for (k=0;k<=j;k++)
                f[j]=max(f[j],f[j-k]+(a*k+b)*k+c);
    }
    printf("%lld\n",f[C]);
    return 0;
}

View Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
int main()
{
    int f1[25000];     // 约翰对不同金额所付的最少硬币数量
    int f2[25000];     // 店家对不同金额找零的最少硬币数量
    int n,t;
    scanf("%d%d",&n,&t);
    int sum=0;
    int i,j;
    int c[105],v[105];
    for (i=0;i<n;i++)
    {
         scanf("%d",&v[i]);
         if (sum<v[i]) sum=v[i];
    }
    for (i=0;i<n;i++)
         scanf("%d",&c[i]);
    sum=sum*sum+t+1;
    memset(f1,INF,sizeof(f1));
    memset(f2,INF,sizeof(f2));
    f1[0]=0;
    f2[0]=0;
    for (i=0;i<n;i++)
    {
        for (j=v[i];j<=sum;j++)      // 店家找零是完全背包
        {
            f2[j]=min(f2[j],f2[j-v[i]]+1);
        }
        if (c[i]*v[i]>=sum)          // 约翰付账是多重背包
        {
           for (j=v[i];j<=sum;j++)
              f1[j]=min(f1[j],f1[j-v[i]]+1);
        }
        else
        {
           int k=1;
           int temp=c[i];
           while (k<temp)
           {
              for (j=sum;j>=k*v[i];j--)
                   f1[j]=min(f1[j],f1[j-k*v[i]]+k);
              temp-=k;
              k*=2;
           }
           for (j=sum;j>=temp*v[i];j--)
              f1[j]=min(f1[j],f1[j-temp*v[i]]+temp);
        }
    }
    int res=INF;
    for (i=t;i<=sum;i++)
    {
         res=min(res,f1[i]+f2[i-t]);
    }
    if (res==INF)
        printf("-1\n");
    else
        printf("%d\n",res);
    return 0;
}