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参考资料：Xilinx FIR Compiler v7.2 LogiCORE IP Product Guide PG149
半带滤波器的阶数为偶数，系数长度为奇数，且除了中间系数为0.5外，其余偶数序号系数都为0。
系数长度 = 抽头数 = FIR滤波器的阶数 + 1 。
半带滤波器的幅频响应如下图。半带滤波器主要用于2倍的抽取前的滤波。
通带截止频率
Ω
p
\Omega_p
Ωp和阻带起始频率
Ω
s
t
\Omega_{st}
Ωst关于
π
2
\frac{\pi}{2}
2π(或
f
s
4
)
\frac{f_s}{4})
4fs)对称，且通带纹波等于阻带纹波，即满足如下表达式。
Ω
p
=
π
−
Ω
s
t
,
δ
p
=
δ
s
\Omega_p = \pi - \Omega_{st},\ \ \delta_p = \delta_{s}
Ωp=π−Ωst, δp=δs
针对一个抽头数为11的半带滤波器其脉冲响应和FPGA实现结构如下图。
针对滤波器系数的对称性还可以优化实现结构。第一幅图针对奇数抽头，第二幅图针对偶数抽头。
以AD9361的接收信号链路中用于2倍抽取的Rx HB1为例。其系数为[-8, 0, 42, 0, -147, 0, 619, 1013, 619, 0, -147, 0, 42, 0, -8]。
h = [-8, 0, 42, 0, -147, 0, 619, 1013, 619, 0, -147, 0, 42, 0, -8];
[H,W] = freqz(h);
Hf = abs(H);% 幅频响应
Hx = angle(H);% 相频响应
plot(W,Hf/max(Hf));% 归一化幅频响应
AD9361中用于3倍抽取时的Rx DEC3系数为 [55, 83, 0, -393, -580, 0, 1914, 4041, 5120, 4041, 1914, 0, -580, -393, 0, 83, 55]。同样画出其归一化幅频响应，标记出关键点。
有数字信号处理理论：
x
(
n
)
→
H
D
(
e
j
ω
)
→
↓
D
→
x
D
(
m
)
x(n) \to H_D(e^{j\omega}) \to \downarrow D \to x_D(m)
x(n)→HD(ejω)→↓D→xD(m)
其中
∣
H
D
(
e
j
ω
)
∣
=
{
D
∣
ω
∣
<
π
/
D
0
π
/
D
⩽
∣
ω
∣
<
π
\left|H_{\mathrm{D}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|=\left\{\begin{array}{ll} D & |\omega|<\pi / D \\ 0 & \pi / D \leqslant|\omega|<\pi \end{array}\right.
∣∣HD(ejω)∣∣={D0∣ω∣<π/Dπ/D⩽∣ω∣<π
下图为一个M倍抽取的多相抽取滤波器结构示意图。
其中
N
N
N个原滤波器系数
a
(
0
)
,
a
(
1
)
,
⋯
,
a
(
N
−
1
)
a(0),a(1),\cdots,a(N-1)
a(0),a(1),⋯,a(N−1)被映射到
M
M
M个多相子滤波器系数
h
0
(
n
)
,
h
1
(
n
)
,
⋯
,
h
M
−
1
(
n
)
h_{0}(n), h_{1}(n), \cdots, h_{M-1}(n)
h0(n),h1(n),⋯,hM−1(n)，两者关系如以下公式。
h
i
(
r
)
=
a
(
i
+
M
r
)
i
=
0
,
1
,
⋯
,
M
−
1
r
=
0
,
1
,
⋯
,
N
M
h_i(r) = a(i+Mr)\ \ \ i =0,1,\cdots,M-1\ \ \ r=0,1,\cdots,\frac{N}{M}
hi(r)=a(i+Mr) i=0,1,⋯,M−1 r=0,1,⋯,MN
例如
h
=
[
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
g
,
f
,
e
,
d
,
c
,
b
,
a
]
，
M
=
3
h
0
=
[
a
,
d
,
g
,
f
,
c
]
h
1
=
[
b
,
e
,
h
,
e
,
b
]
h
2
=
[
c
,
f
,
g
,
d
,
a
]
\begin{matrix} \\h=[a,b,c,d,e,f,g,h,g,f,e,d,c,b,a]，M=3 \\h_0=[a,d,g,f,c] \\h_1=[b,e,h,e,b] \\h_2=[c,f,g,d,a] \end{matrix}
h=[a,b,c,d,e,f,g,h,g,f,e,d,c,b,a]，M=3h0=[a,d,g,f,c]h1=[b,e,h,e,b]h2=[c,f,g,d,a]
多相抽取滤波器通过输入换向器将输入样本
x
(
n
)
x(n)
x(n)送入多相子滤波器，换向器索引从
M
−
1
M-1
M−1递减到
0
0
0。在换向器执行了一个周期并向滤波器组提供了
M
M
M个输入样本后，各多相子滤波器的输出之和作为一个输出样本
y
(
n
)
y(n)
y(n)。则
y
(
n
)
y(n)
y(n)的输出采样率为
f
s
/
M
f_s/M
fs/M。
下图为一个P倍内插的多相内插滤波器结构示意图。
其中
N
N
N个原滤波器系数
a
(
0
)
,
a
(
1
)
,
⋯
,
a
(
N
−
1
)
a(0),a(1),\cdots,a(N-1)
a(0),a(1),⋯,a(N−1)被映射到
P
P
P个多相子滤波器系数
h
0
(
n
)
,
h
1
(
n
)
,
⋯
,
h
P
−
1
(
n
)
h_{0}(n), h_{1}(n), \cdots, h_{P-1}(n)
h0(n),h1(n),⋯,hP−1(n)，两者关系如以下公式。
h
i
(
r
)
=
a
(
i
+
P
r
)
i
=
0
,
1
,
⋯
,
P
−
1
r
=
0
,
1
,
⋯
,
N
P
h_i(r) = a(i+Pr)\ \ \ i =0,1,\cdots,P-1\ \ \ r=0,1,\cdots,\frac{N}{P}
hi(r)=a(i+Pr) i=0,1,⋯,P−1 r=0,1,⋯,PN
多相内插滤波器的每一个输入样本
x
(
n
)
x(n)
x(n)都要送入到各个多相子滤波器，一个输入样本
x
(
n
)
x(n)
x(n)经过多相内插滤波器后对应
P
P
P个输出样本
y
(
n
)
y(n)
y(n)。输出采样率为
P
×
f
s
P\times f_s
P×fs。
结合前面所述，半带抽取器和内插器就将半带滤波器与多相滤波器结合起来。具体结构如下图。
以前面所用的Rx HB1系数为例，其系数为[-8, 0, 42, 0, -147, 0, 619, 1013, 619, 0, -147, 0, 42, 0, -8]。
close all; clear;
x = round(rand(1,1000)*5);
h = [-8, 0, 42, 0, -147, 0, 619, 1013, 619, 0, -147, 0, 42, 0, -8];
n = length(h);
h0 = h(1:2:end);
h1 = h(2:2:end);
y1 = conv(x,h);% 先滤波后抽取
y1 = y1(n/2:end-n/2);
y1 = y1(1:2:end);
x_a = x(1:2:end);% 先抽取再滤波
y2_a = conv(x_a,h0);
y2_a = y2_a(n/4:end-n/4);
x_b = x(2:2:end);
y2_b = conv(x_b,h0);
y2_b = y2_b(n/4:end-n/4);
y2 = y2_a + y2_b;
x = x/max(x);% 归一化
y1 = y1/max(y1);
y2 = y2/max(y2);
通过Matlab信号分析工具箱画出两种方法输出y1和y2的时域图和频域图，可以看到两种方法均可实现2倍的抽取操作，且两者的频域波形相差不大。
目录前言滤波电路科普主要分类实际情况单位的概念常用评价参数函数型滤波器简单分析滤波电路构成低通滤波器RC低通滤波器RL低通滤波器高通滤波器RC高通滤波器RL高通滤波器部分摘自《LC滤波器设计与制作》，侵权删。前言最近需要学习放大电路和滤波电路，但是由于只在之前做音乐频谱分析仪的时候简单了解过一点点运放，所以也是相当从零开始学习了。滤波电路科普主要分类滤波器：主要是从不同频率的成分中提取出特定频率的信号。有源滤波器：由RC元件与运算放大器组成的滤波器。可滤除某一次或多次谐波，最普通易于采用的无源滤波器结构是将电感与电容串联，可对主要次谐波（3、5、7）构成低阻抗旁路。无源滤波器：无源滤波器，又称
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