背景

我想通过基准测试来估计库中某些方法的出色性能。我不需要精确——它足以证明某事是 O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2) 或更糟。由于 big-oh 意味着上限，因此为 O(log logn) 估计 O(logn) 不是问题。

现在，我正在考虑找到最适合每个 big-oh 数据的常数乘数 k(但会超过所有结果)，然后选择最适合的 big-oh。

问题

1. 还有比我想象的更好的方法吗？如果有，它们是什么？
2. 否则，谁能指点我估计 k 以获得最佳拟合的算法，并比较每条曲线与数据的拟合程度？

注意事项和限制

鉴于目前的评论，我需要澄清几点:

• 这需要自动化。我无法“查看”数据并做出判断。
• 我将使用多个 n 大小对方法进行基准测试。对于每个尺寸 n，我将使用经过验证的基准框架，该框架可提供可靠的统计结果。
• 实际上，我事先知道要测试的大多数方法的重要性。我的主要目的是为他们提供性能回归测试。
• 代码将使用 Scala 编写，任何免费的 Java 库都可以使用。

示例

这是我想要测量的一类东西的一个例子。我有一个带有这个签名的方法:

def apply(n: Int): A

给定一个 n，它将返回序列的第 n 个元素。给定现有实现，此方法可以具有 O(1)、O(logn) 或 O(n)，并且小的更改可能使其错误地使用次优实现。或者，更容易的是，可以获得其他一些依赖的方法来使用它的次优版本。

最佳答案

为了开始，您必须做出几个假设。

1. n 比任何常数项都大。
2. 您可以有效地随机化输入数据
3. 您可以以足够的密度进行采样，以便很好地处理运行时的分布

特别是，(3) 很难与 (1) 一起实现。因此，您可能会得到具有指数最坏情况的东西，但永远不会遇到最坏情况，因此认为您的算法比平均水平要好得多。

话虽如此，您所需要的只是任何标准曲线拟合库。 Apache Commons Math 有一个完全足够的。然后，您可以使用要测试的所有常用术语(例如，常数、log n、n、n log n、nn、nn*n、e^n)创建一个函数，或者您获取数据的日志并拟合指数，然后如果您得到的指数不接近整数，请查看是否输入 log n 得到更好的拟合。

(更详细地说，如果你适合 C*x^a 为 C 和 a，或者更容易 log C + a log x，您可以获得指数 a；在 all-common-terms-at-once 方案中，您将获得每个术语的权重，所以如果您有 n*n + C*n*log(n) 其中 C 很大，你也会选择这个词。)

您需要充分改变大小，以便可以区分不同的情况(如果您关心这些，对日志术语可能很难)，并且安全地比您拥有的参数更多不同的大小(可能超过 3 倍)只要您总共进行至少十几次左右的运行，就会开始好起来的。

编辑:这是为您完成所有这些的 Scala 代码。与其解释每一小块，我将把它留给你去调查；它使用 C*x^a 拟合实现上述方案，并返回 ((a,C),(a 的下限，a 的上限))。界限是相当保守的，你可以从运行这个东西几次中看出。 C 的单位是秒(a 是无单位的)，但不要太相信 因为有一些循环开销(而且一些噪音)。

class TimeLord[A: ClassManifest,B: ClassManifest](setup: Int => A, static: Boolean = true)(run: A => B) {
  @annotation.tailrec final def exceed(time: Double, size: Int, step: Int => Int = _*2, first: Int = 1): (Int,Double) = {
    var i = 0
    val elapsed = 1e-9 * {
      if (static) {
        val a = setup(size)
        var b: B = null.asInstanceOf[B]
        val t0 = System.nanoTime
        var i = 0
        while (i < first) {
          b = run(a)
          i += 1
        }
        System.nanoTime - t0
      }
      else {
        val starts = if (static) { val a = setup(size); Array.fill(first)(a) } else Array.fill(first)(setup(size))
        val answers = new Array[B](first)
        val t0 = System.nanoTime
        var i = 0
        while (i < first) {
          answers(i) = run(starts(i))
          i += 1
        }
        System.nanoTime - t0
      }
    }
    if (time > elapsed) {
      val second = step(first)
      if (second <= first) throw new IllegalArgumentException("Iteration size increase failed: %d to %d".format(first,second))
      else exceed(time, size, step, second)
    }
    else (first, elapsed)
  }

  def multibench(smallest: Int, largest: Int, time: Double, n: Int, m: Int = 1) = {
    if (m < 1 || n < 1 || largest < smallest || (n>1 && largest==smallest)) throw new IllegalArgumentException("Poor choice of sizes")
    val frac = (largest.toDouble)/smallest
    (0 until n).map(x => (smallest*math.pow(frac,x/((n-1).toDouble))).toInt).map{ i => 
      val (k,dt) = exceed(time,i)
      if (m==1) i -> Array(dt/k) else {
        i -> ( (dt/k) +: (1 until m).map(_ => exceed(time,i,first=k)).map{ case (j,dt2) => dt2/j }.toArray )
      }
    }.foldLeft(Vector[(Int,Array[Double])]()){ (acc,x) =>
      if (acc.length==0 || acc.last._1 != x._1) acc :+ x
      else acc.dropRight(1) :+ (x._1, acc.last._2 ++ x._2)
    }
  }

  def alpha(data: Seq[(Int,Array[Double])]) = {
    // Use Theil-Sen estimator for calculation of straight-line fit for exponent
    // Assume timing relationship is t(n) = A*n^alpha
    val dat = data.map{ case (i,ad) => math.log(i) -> ad.map(x => math.log(i) -> math.log(x)) }
    val slopes = (for {
      i <- dat.indices
      j <- ((i+1) until dat.length)
      (pi,px) <- dat(i)._2
      (qi,qx) <- dat(j)._2
    } yield (qx - px)/(qi - pi)).sorted
    val mbest = slopes(slopes.length/2)
    val mp05 = slopes(slopes.length/20)
    val mp95 = slopes(slopes.length-(1+slopes.length/20))
    val intercepts = dat.flatMap{ case (i,a) => a.map{ case (li,lx) => lx - li*mbest } }.sorted
    val bbest = intercepts(intercepts.length/2)
    ((mbest,math.exp(bbest)),(mp05,mp95))
  }
}

注意 multibench 方法预计需要大约 sqrt(2)nm*time 才能运行，假设使用静态初始化数据并且相对便宜无论你正在运行什么。以下是一些示例，其中的参数选择了大约 15 秒的运行时间:

val tl1 = new TimeLord(x => List.range(0,x))(_.sum)  // Should be linear
// Try list sizes 100 to 10000, with each run taking at least 0.1s;
// use 10 different sizes and 10 repeats of each size
scala> tl1.alpha( tl1.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res0: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.0075537890632216,7.061397125245351E-9),(0.8763463348353099,1.102663784225697))

val longList = List.range(0,100000)
val tl2 = new TimeLord(x=>x)(longList.apply)    // Again, should be linear
scala> tl2.alpha( tl2.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res1: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.4534378213477026,1.1325696181862922E-10),(0.969955396265306,1.8294175293676322))

// 1.45?!  That's not linear.  Maybe the short ones are cached?
scala> tl2.alpha( tl2.multibench(9000,90000,0.1,100,1) )
res2: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((0.9973235607566956,1.9214696731124573E-9),(0.9486294398193154,1.0365312207345019))

// Let's try some sorting
val tl3 = new TimeLord(x=>Vector.fill(x)(util.Random.nextInt))(_.sorted)
scala> tl3.alpha( tl3.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res3: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.1713142886974603,3.882658025586512E-8),(1.0521099621639414,1.3392622111121666))
// Note the log(n) term comes out as a fractional power
// (which will decrease as the sizes increase)

// Maybe sort some arrays?
// This may take longer to run because we have to recreate the (mutable) array each time
val tl4 = new TimeLord(x=>Array.fill(x)(util.Random.nextInt), false)(java.util.Arrays.sort)
scala> tl4.alpha( tl4.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res4: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.1216172965292541,2.2206198821180513E-8),(1.0929414090177318,1.1543697719880128))

// Let's time something slow
def kube(n: Int) = (for (i <- 1 to n; j <- 1 to n; k <- 1 to n) yield 1).sum
val tl5 = new TimeLord(x=>x)(kube)
scala> tl5.alpha( tl5.multibench(10,100,0.1,10,10) )
res5: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((2.8456382116915484,1.0433534274508799E-7),(2.6416659356198617,2.999094292838751))
// Okay, we're a little short of 3; there's constant overhead on the small sizes

无论如何，对于所述的用例——您正在检查以确保订单不会改变——这可能就足够了，因为您可以在设置测试时稍微调整一下这些值以确保它们给出一些明智的东西。也可以创建寻求稳定性的启发式方法，但这可能是矫枉过正。

(顺便说一句，这里没有明确的预热步骤；Theil-Sen 估计器的稳健拟合应该使其对于合理的大型基准测试变得不必要。这也是我不使用任何其他基准测试框架的原因；它的任何统计数据确实只是从这个测试中失去了力量。)

再次编辑:如果您将 alpha 方法替换为以下内容:

  // We'll need this math
  @inline private[this] def sq(x: Double) = x*x
  final private[this] val inv_log_of_2 = 1/math.log(2)
  @inline private[this] def log2(x: Double) = math.log(x)*inv_log_of_2
  import math.{log,exp,pow}

  // All the info you need to calculate a y value, e.g. y = x*m+b
  case class Yp(x: Double, m: Double, b: Double) {}

  // Estimators for data order
  //   fx = transformation to apply to x-data before linear fitting
  //   fy = transformation to apply to y-data before linear fitting
  //   model = given x, slope, and intercept, calculate predicted y
  case class Estimator(fx: Double => Double, invfx: Double=> Double, fy: (Double,Double) => Double, model: Yp => Double) {}
  // C*n^alpha
  val alpha = Estimator(log, exp, (x,y) => log(y), p => p.b*pow(p.x,p.m))
  // C*log(n)*n^alpha
  val logalpha = Estimator(log, exp, (x,y) =>log(y/log2(x)), p => p.b*log2(p.x)*pow(p.x,p.m))

  // Use Theil-Sen estimator for calculation of straight-line fit
  case class Fit(slope: Double, const: Double, bounds: (Double,Double), fracrms: Double) {}
  def theilsen(data: Seq[(Int,Array[Double])], est: Estimator = alpha) = {
    // Use Theil-Sen estimator for calculation of straight-line fit for exponent
    // Assume timing relationship is t(n) = A*n^alpha
    val dat = data.map{ case (i,ad) => ad.map(x => est.fx(i) -> est.fy(i,x)) }
    val slopes = (for {
      i <- dat.indices
      j <- ((i+1) until dat.length)
      (pi,px) <- dat(i)
      (qi,qx) <- dat(j)
    } yield (qx - px)/(qi - pi)).sorted
    val mbest = slopes(slopes.length/2)
    val mp05 = slopes(slopes.length/20)
    val mp95 = slopes(slopes.length-(1+slopes.length/20))
    val intercepts = dat.flatMap{ _.map{ case (li,lx) => lx - li*mbest } }.sorted
    val bbest = est.invfx(intercepts(intercepts.length/2))
    val fracrms = math.sqrt(data.map{ case (x,ys) => ys.map(y => sq(1 - y/est.model(Yp(x,mbest,bbest)))).sum }.sum / data.map(_._2.length).sum)
    Fit(mbest, bbest, (mp05,mp95), fracrms)
  }

那么当还有一个对数项时，您也可以得到指数的估计值——存在错误估计来选择对数项是否是正确的方法，但由您决定(即我'我假设你最初会监督这个并阅读出现的数字):

val tl3 = new TimeLord(x=>Vector.fill(x)(util.Random.nextInt))(_.sorted)
val timings = tl3.multibench(100,10000,0.1,10,10)

// Regular n^alpha fit
scala> tl3.theilsen( timings )
res20: tl3.Fit = Fit(1.1811648421030059,3.353753446942075E-8,(1.1100382697696545,1.3204652930525234),0.05927994882343982)

// log(n)*n^alpha fit--note first value is closer to an integer
//   and last value (error) is smaller
scala> tl3.theilsen( timings, tl3.logalpha )
res21: tl3.Fit = Fit(1.0369167329732445,9.211366397621766E-9,(0.9722967182484441,1.129869067913768),0.04026308919615681)

(编辑:修正了 RMS 计算，因此它实际上是平均值，并且证明您只需要进行一次计时，然后可以尝试两种拟合。)

关于java - 凭经验估计大时间效率，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/8836393/