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c++ - 将while循环变成数学方程式？

coder 2023-06-01 原文

我的程序中有两个简单的 while 循环，我觉得应该是数学方程，但我正在努力转换它们:

float a = someValue;
int b = someOtherValue;
int c = 0;

while (a <= -b / 2) {
    c--;
    a += b;
}
while (a >= b / 2) {
    c++;
    a -= b;
}

此代码按原样工作，但我觉得它可以简化为数学方程式。这里的想法是该代码采用偏移量 (someValue) 并调整坐标 (c) 以最小化与图 block 中心的距离(大小为 someOtherValue)。任何帮助将不胜感激。

最佳答案

可以证明以下是正确的:

c = floor((a+b/2)/b)
a = a - c*b

注意 floor 表示向下舍入，朝向负无穷:不是朝向 0。(例如 floor(-3.1)=-4。floor() 库函数会执行此操作；请确保不要只转换为 int，通常会向 0 舍入。)

大概 b 是严格正数，否则两个循环都不会终止:添加 b 不会使 a 变大而减去 b 不会使 a 更小。有了这个假设，我们可以证明上面的代码有效。 (而且 paranoidgeek 的代码也几乎是正确的，只是它使用强制转换为 int 而不是 floor。)

巧妙的证明方法: 代码在 a 中加或减 b 的倍数，直到 a 在 [-b/2,b/2)，您可以将其视为从 a/b 中添加或减去 整数，直到 a/b 在 [-1/2,1/2)，即直到 (a/b+1/2)(称之为 x)在 [0,1 )。由于您只是通过整数更改它，所以 x 的值不会更改 mod 1，即它会转到它的 remainder mod 1，这是 x-floor(x)。所以你做的有效减法数(即c)是floor(x)。

繁琐的证明方式:

<子> 在第一个循环结束时，c的值是循环运行次数的负数，即:

  • 0 如果:a > -b/2 <=> a+b/2 > 0
  • -1 如果:-b/2 ≥ a > -3b/2 <=> 0 ≥ a+b/2 > -b <=> 0 ≥ x > -1
  • -2 如果:-3b/2 ≥ a > -5b/2 <=> -b ≥ a+b/2 > -2b <=> -1 ≥ x > -2 等等，

其中 x = (a+b/2)/b，因此 c 为:如果 x>0，则为 0，否则为“ceiling(x)-1”。如果第一个循环完全运行，那么在 最后一次执行循环之前它是 ≤ -b/2，所以它现在是 ≤ -b/2+b，即 ≤ b/2 .根据它是否恰好是 b/2(即，您开始时 x 是否恰好是一个非正整数)，第二个循环恰好运行 1 次或 0，而 c 是天花板(x)或天花板(x)-1。这样就解决了第一个循环运行时的情况。

如果第一个循环没有运行，那么第二个循环结束时 c 的值为:

  • 0 如果:a < b/2=""><=> a-b/2 <>
  • 1 如果:b/2 ≤ a < 3b/2=""><=> 0 ≤ a-b/2 < b=""><=> 0 ≤ y <>
  • 2 如果:3b/2 ≤ a < 5b/2=""><=> b ≤ a-b/2 < 2b=""><=> 1 ≤ y <>

其中 y = (a-b/2)/b，因此 c 为:如果 y<0，则为 0，否则为="" 1+floor(y)。="" [而="">a 现在肯定是 < b/2="" 和="" ≥="">

所以你可以为 c 写一个表达式为:

x = (a+b/2)/b
y = (a-b/2)/b
c = (x≤0)*(ceiling(x) - 1 + (x is integer))
   +(y≥0)*(1 + floor(y))

当然，接下来你会注意到 (ceiling(x)-1+(x is integer)) 与 floor(x+1)-1 相同是floor(x)，而那个y其实就是x-1，所以(1+floor(y))=floor (x)，关于条件句:
当x≤0时，不可能是(y≥0)，所以c只是第一项即floor(x)，
当 0 < x="">< 1="" 时，两个条件都不成立，所以="">c 是 0,
当1≤x时，只有0≤y，所以c就是第二项，又是floor(x)。 所以 c = floor(x) 在所有情况下。

关于c++ - 将while循环变成数学方程式？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/392375/

ampwhilecodefloorsectionc++calgorithmmath

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