树状数组经典操作

1、修改某一段区间的值   add

2、求某一段区间的前缀和  sum

int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

int add(int x, int c){
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x){
    int res = 0;
    for(int i = x; i ; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

例题：

第一题：楼兰图腾

在完成了分配任务之后，西部314 来到了楼兰古城的西部。

相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(V)，一个部落崇拜铁锹(∧)，他们分别用 V 和 ∧ 的形状来代表各自部落的图腾。

西部 314 在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了 n 个点，经测量发现这 n 个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。

西部 314 认为这幅壁画所包含的信息与这 n 个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为 (1,y1),(2,y2),…,(n,yn)，其中 y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。

西部 314 打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk) 满足 1≤i<j<k≤n且 yi>yj,yj<yk，则称这三个点构成 V 图腾;

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk)满足 1≤i<j<k≤n 且 yi<yj,yj>yk，则称这三个点构成 ∧ 图腾;

西部 314 想知道，这 n个点中两个部落图腾的数目。

因此，你需要编写一个程序来求出 V 的个数和 ∧ 的个数。

输入格式

第一行一个数 n。

第二行是 n 个数，分别代表 y1，y2,…,yn

输出格式

两个数，中间用空格隔开，依次为 V 的个数和 ∧ 的个数。

数据范围

对于所有数据，n≤200000，且输出答案不会超过 int64。
y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。

输入样例：

5
1 5 3 2 4

输出样例：

3 4

分析样例，我们就知道是找当前点 前面比他大的 乘以 后面也比他大的 ，两个数量相乘即是V个数

同理倒的也是如此

那我们从前面求一遍，再从后面求一遍即可

怎么与树状数组相关呢，每次加进去 add(y, 1)， 因为是全排列，加进去的就是当前的位置和个数

要求的就是前面位置 或者后面位置 的数量，这就是sum了

求前面比他大的，不就是求 sum(n) - sum(y) ，也就是  y  + 1 ——n的个数

再初始化树状数组为0，反过来加一遍，就相当于反过来求

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 200010;
typedef long long LL;
int n;
int great[N], lower[N], tr[N], a[N];

int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

int add(int x, int c){
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x){
    int res = 0;
    for(int i = x; i ; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int y = a[i];
        great[i] = sum(n) - sum(y);   //正着求 y + 1 到 n
        lower[i] = sum(y - 1);        //      1 到 y - 1
        add(y, 1);
    }
    
    memset(tr, 0, sizeof tr);
    LL res1 = 0, res2 = 0;
    for(int i = n; i ; i --) {
        int y = a[i];
        res1 += great[i] * (LL)(sum(n) - sum(y));
        res2 += lower[i] * (LL)sum(y - 1);
        add(y, 1);
    }
    
    printf("%lld %lld", res1, res2);
    return 0;
}

第二题：一个简单的整数问题

给定长度为 N 的数列 A然后输入 M 行操作指令。

第一类指令形如 C l r d，表示把数列中第 l∼r个数都加 d。

第二类指令形如 Q x，表示询问数列中第 x 个数的值。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

第二行包含 N 个整数 A[i]。

接下来 M 行表示 M 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

1≤N,M≤105
|d|≤10000
|A[i]|≤109

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4
Q 1
Q 2
C 1 6 3
Q 2

输出样例：

4
1
2
5

这道题就很经典了

如果你用差分去求的话，每次修改完之后重新就要求前缀和，为O（n)级别肯定超时

但是使用树状数组维护前缀和，只需要O(logn)

要加以进去的就是差分数组，add(i, a[i] - a[i- 1])

树状数组维护的是前缀和，求某一个数，就是sum(x)

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
typedef long long LL;
int n, m;
int a[N], tr[N];

int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

void add(int x, int c){
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x){
    int res = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        add(i, a[i] - a[i - 1]);
    }
    
    while(m--){
        string op;
        int l, r, d;
        cin>>op;
        scanf("%d", &l);
        if(op == "C") {
            scanf("%d%d", &r, &d);
            add(l, d), add(r + 1,  -d);
        }
        else{
            printf("%d\n", sum(l));
        }
    }
    
    return 0;
}

第三题：一个简单的整数问题2

还需思考，待更..

第四题：谜一样的牛

有 n头奶牛，已知它们的身高为 1∼n且各不相同，但不知道每头奶牛的具体身高。

现在这 n 头奶牛站成一列，已知第 i 头牛前面有 Ai 头牛比它低，求每头奶牛的身高。

输入格式

第 1 行：输入整数 n。

第 2..n 行：每行输入一个整数 Ai，第 i 行表示第 i 头牛前面有 Ai 头牛比它低。
（注意：因为第 1 头牛前面没有牛，所以并没有将它列出）

输出格式

输出包含 n 行，每行输出一个整数表示牛的身高。

第 i 行输出第 i 头牛的身高。

数据范围

1≤n≤105

输入样例：

5
1
2
1
0

输出样例：

2
4
5
3
1

每一只牛发现前面比他低的牛，模拟样例得到

从最后开始模拟，第ai头牛，找当前数组第ai + 1小的数 就是当前牛的身高

涉及两个操作

1、找到了，删除某头牛

2、找到该位置，第 ai + 1比他小的数

第一个在树状数组里面很好解决

第二个把树状数组初始化为1,表示该位置可以使用，sum(k) == ai + 1表示当前位置身高为k（身高为1-n），怎么找这个k，使用二分，满足二段性的

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
typedef long long LL;
int h[N], tr[N], ans[N];
int n;

int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

void add(int x, int c){
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x){
    int res = 0;
    for(int i = x; i ; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 2; i <= n; i ++) scanf("%d", &h[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) tr[i] = lowbit(i);
    
    for(int i = n; i; i--){
        int k = h[i] + 1;
        int l = 1, r = n;
        while(l < r){
            int mid = l + r >> 1;
            if(sum(mid) >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        ans[i] = r;
        add(r, -1);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}