1.定义

平衡二叉树，又称AVL树，用于解决二叉排序树高度不确定的情况，如果二叉排序树的子树间的高度相差太大，就会让二叉排序树操作的时间复杂度升级为O(n)，为了避免这一情况，为最坏的情况做准备，就出现了平衡二叉树，使树的高度尽可能的小，其本质还是一棵二叉搜索树。

平衡二叉树的性质：

• 左子树和右子树的高度之差的绝对值小于等于1
• 左子树和右子树也是平衡二叉树

为了方便起见，给树上的每个结点附加一个数字，给出该结点左子树与右子树的高度差，这个数字称为结点的平衡因子（BF）

平衡因子=结点左子树的高度-结点右子树的高度。

因此平衡二叉树所有结点的平衡因子只能是-1、0、1，如下图，是一个平衡二叉树

平衡二叉树的高度为logn

2.失衡

当我们在一个平衡二叉树上插入一个结点时，有可能会导致失衡，即出现平衡因子绝对值大于1       的结点，如下图，当插入结点后，其中key为53的结点失去了平衡，我们称该结点为失衡结点，我们必须重新调整树的结构，使之恢复平衡。

 不一定只有一个结点失去平衡，有可能插入一个结点会让多个结点失衡。这时候找 最小的失衡子树的根节点作为失衡结点。

3.恢复平衡

那如何去恢复平衡，使得二叉搜索树依然成立为一棵平衡树？先来看平衡调整的四种类型：

 举个例子：如第一个，当平衡二叉树为AB时，插入一个C结点，使得失衡了，失衡结点为A，此时因为C结点插入的位置为失衡结点的左孩子的左孩子，所以是LL型，以此类推。

为了恢复平衡，针对每一种都不一样，但目的都是调整为平衡的，且不能违背二叉搜索树的性质：如下图是每种失衡类型的解决方法，每个都不太一样，目的都是一样的，把key的值为中等的变为树的根，最小的放在左孩子，做大的放右孩子，通过这一目的，降低树的高度，也不用死记硬背。

如书上所说，这一操作被称为树的旋转，如LL型被称为右旋，RR型称为左旋，LR型是先左旋，再右旋，RL型先右旋再左旋。

3.1LL型调整

如下，在实际情况中，调整的内容可能看起来更复杂，如下方块的表示省略了n个结点，调整的方式如下(右旋)：

步骤为：

• B结点带左子树(α和新添加的C结点)一起上升
• A结点成为B的右子树
• 原来的B的右子树成为A的左子树，因为A的左子树是B，上升了，所以空着的

可以看成是A右旋为B的右子树

3.2RR型

LL型和RR型是最简单的几种情况，所以放在了前面。RR型即插入的结点位置在失衡结点的右子树的右子树中，如下图：

 调整的步骤和LL的差不多

步骤为：

• B结点和它的右子树(β和新添加的C结点)一起上升
• A结点变为B结点的左子树
• 原来B的左子树α变为A的右子树

可以看成是A左旋至B的左子树

3.3LR型调整

LR型的跳转如下(左旋再右旋)：

• 首先让B和它的子树(除了C)左旋至C的左子树，把C为根的树接入A的左子树
• 然后让A右旋，成为C的右子树 

其过程就是把中位数的C上升，成为AB的双亲

3.4RL型调整

RL型如下(先右旋再左旋)：

• 首先让B和它的子树(除了C)右旋至C的右子树，把C为根的树接入A的右子树
• 然后让A左旋，成为C的左子树 

和LR差不多

例题：输入关键字序列(16，3，7，11 ，9，26，18，14，15)给出AVL树

参考答案：

4.代码实现

public class AVLTree {
    private AVLNode root;

    public class AVLNode {
        public int data;
        public int height;
        public AVLNode parent;
        public AVLNode left;
        public AVLNode right;

        public AVLNode(int data) {
            this.data = data;
            this.height = 1;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "AVLNode{" +
                    "data=" + data +
                    '}';
        }

        public void inOrder() {//中序遍历
            if (this.left != null) {
                this.left.inOrder();
            }
            System.out.println(this);
            if (this.right != null) {
                this.right.inOrder();
            }
        }
    }

    private int calcHeight(AVLNode root) {
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        } else if (root.right == null) {
            return root.left.height + 1;
        } else if (root.left == null) {
            return root.right.height + 1;
        } else {
            return root.left.height > root.right.height ? root.left.height + 1 : root.right.height + 1;
        }
    }

    private int calcBF(AVLNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else if (root.left == null && root.right == null) {
            return 0;
        } else if (root.right == null) {
            return root.left.height;
        } else if (root.left == null) {
            return -root.right.height;
        } else {
            return root.left.height - root.right.height;
        }
    }

    public AVLNode leftRotate(AVLNode root) {
        AVLNode oldRoot = root;
        AVLNode newRoot = root.right;
        AVLNode parent = root.parent;
        //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
        if (null != parent) {
            if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) {
                parent.left = newRoot;
            } else {
                parent.right = newRoot;
            }
        }
        newRoot.parent = parent;
        //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的左子树 给 oldRoot 的右子树)
        oldRoot.right = newRoot.left;
        if (newRoot.left != null) {
            newRoot.left.parent = oldRoot;
        }
        //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
        newRoot.left = oldRoot;
        oldRoot.parent = newRoot;
        //刷新高度
        oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
        newRoot.height = calcHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }


    public AVLNode rightRotate(AVLNode root) {
        AVLNode oldRoot = root;
        AVLNode newRoot = root.left;
        AVLNode parent = root.parent;
        //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
        if (null != parent) {
            if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) {
                parent.left = newRoot;
            } else {
                parent.right = newRoot;
            }
        }
        newRoot.parent = parent;
        //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的右子树 给 oldRoot 的左子树)
        oldRoot.left = newRoot.right;
        if (newRoot.right != null) {
            newRoot.right.parent = oldRoot;
        }
        //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
        newRoot.right = oldRoot;
        oldRoot.parent = newRoot;
        //刷新高度
        oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
        newRoot.height = calcHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }

    public void insert(int data) {
        if (null == this.root) {
            this.root = new AVLNode(data);
            return;
        }
        this.root = insert(this.root, data);
    }

    public AVLNode insert(AVLNode root, int data) {
        //插入左子树
        if (data < root.data) {
            if (null == root.left) {
                root.left = new AVLNode(data);
                root.left.parent = root;
            } else {
                insert(root.left, data);
            }
        }
        //插入右子树
        else if (data > root.data) {
            if (null == root.right) {
                root.right = new AVLNode(data);
                root.right.parent = root;
            } else {
                insert(root.right, data);
            }
        }
        //刷新高度
        root.height = calcHeight(root);
        //旋转
        //1. LL 型 右旋转
        if (calcBF(root) == 2) {
            //2. LR 型 先左旋转
            if (calcBF(root.left) == -1) {
                root.left = leftRotate(root.left);
            }
            root = rightRotate(root);
        }
        //3. RR型 左旋转
        if (calcBF(root) == -2) {
            //4. RL 型 先右旋转
            if (calcBF(root.right) == 1) {
                root.right = rightRotate(root.right);
            }
            root = leftRotate(root);
        }

        return root;
    }

    public void inOrder() {
        root.inOrder();
    }
}

测试：

AVLTree tree = new AVLTree();
tree.insert(16);
tree.insert(3);
tree.insert(7);
tree.insert(11);
tree.insert(9);
tree.insert(26);
tree.insert(18);
tree.insert(14);
tree.insert(15);

tree.inOrder();

结果如下： 

AVLNode{data=3}
AVLNode{data=7}
AVLNode{data=9}
AVLNode{data=11}
AVLNode{data=14}
AVLNode{data=15}
AVLNode{data=16}
AVLNode{data=18}
AVLNode{data=26}

就是上面例题中的平衡二叉树。