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概率论的学习和整理10:古典概型 和 二项分布(N重伯努利试验)

奔跑的犀牛先生 2023-06-05 原文

1  古典概型

      百度百科:古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯 (Laplace ) 提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的,且每个单位事件发生的可能性均相等,则这个随机试验叫做拉普拉斯试验,这种条件下的概率模型就叫古典概型

      各种DND的骰子表明,主要是概率相等

优势

  • 古典概型,有点万金油?
  • 看起来很笨,但是实际上还挺灵活的
  • 古典分布,可以认为是穷举法--但是因为排列组合引入,其实穷举范围很广
  • 要求知道样本空间数量,但是样本空间可以变化
  • 是一种总体视角
  • 也就是适用放回抽样和不放回抽样(不放回抽样,每2次试验样本总量肯定变化了!不是伯努利试验,也就是不放回抽样肯定不能是伯努利分布)

 局限性

  • 用不了的情况
  1. 如果不能抽象为等概率,也用不了
  2. 如果没有总体样本数,确实就难用了吧?

关于古典概型使用注意点

  • 可以灵活认识的地方:
  • 古典概型,可以适合放回抽样,也适合不放回抽样
  • 唯一要求的就是等概率。
  • 但是只要随机试验的基础是可以划分为等概率就可以,比如10个球,2白8黑,虽然白黑概率不相等,但是10个球本身概率是相等的。
  • 需要严格认识的地方
  • 古典概型,一般是通过计算事件总数,p= 目标事件总数/ 样本空间事件总数
  • 唯二的注意点:如果是多次随机试验,古典概型需要单次计算每次的概率,然后乘法原则*连起来。~ ~
  • 比如10个球,2个白球,8个黑球,求抽2次2次都是白球的概率
  • 虽然白球和黑球,2者概率不同,但是基础的球是等概率的。所以可以用古典概型来计算,p(x=2) =C(2,1)/C(10,1) * C(1,1)/C(9,1)=2/10*1/9=1/45
  • 这个计算结果和超几何分布的计算是一样的。
  • p(x=2) =C(2,2)*C(8,0)/C(10,2)=1*1/(10*9/2)=2/90=1/45

 N重伯努利试验 和二项分布

 优势

  • 不要求具体的样本总量的具体 数量
  • 只需要知道概率就行,但要求概率是稳定不变的(多次伯努利试验时)
  • 还需要知道 抽样试验的次数,目标事件的次数

 局限性

  • 能不能用二项分布先判断,是不是符合N重伯努利试验,如果不符合就没戏
  • 二项分布,伯努利试验,需要保证样本容量确定,且分布也要稳定,否则不能
  • 必须是放回抽样
  • 如果是不放回抽样,
  1. 要么认为样本极其大,忽略样本总量变化,概率变化不稳定的影响
  2. 要么得用超几何分布

使用时注意点

  • 可以灵活认识的地方:
  • 虽然要求只有2种结果但可以主观划分
  • 比如{1,2...100}数字很多,可以划分为>10的和<=10的这两种情况,这样一次试验的结果,无论随到数字几,也只能是>10的和<=102种结果了。
  • 需要严格认识的地方
  • N次试验,每次试验都稳定,样本总数和概率都稳定才能视为N重伯努利试验,才能用二项分布
  • 也就是说,不放回抽样,一般不适合二项分布
  • 因为小样本量前提下,不放回抽样会破坏第一次试验后的样本空间数和概率,发生变化!第2次试验无法和第1次相同了
  • 如果样本量足够大,即使是不放会抽样,可以用二项分布近似

1 古典概型和伯努利概型

  • 古典概型和伯努利概型,很容易弄混,以为是一回事,实际差别很大

1.1 有差别的地方

  • 古典概型:主要强调的是,样本空间内的每种结果都是等可能的,p相等,一般是使用组合的方法计算事件数量,通过分子 / 分母,进而算出概率。也可以进行多次。
  • 伯努利试验:主要强调的是,每次试验只有/ 或只划分为 2种结果(对应一个只取值两个的随机变量),并不要求每种结果概率相同,可以重复多次试验。

1.2 无差别的地方

  • 并没有的差别
  • 都是可以重复很多次
  • 都是可以放回,不放回?

2 古典概型 (等可能模型 / 等概率模型)

2.1 古典概型

古典概型是概率论中最直观和最简单的模型,古典概型具有两个特征:

  • 试验的样本空间只包括有限个元素。( 不要求只有2种)
  • 试验中每个基本事件发生的可能性相同。( 要求每种结果的发生概率相等)

  • 各次重复试验的结果是相互独立,互不影响的。
  • 放回??
  • 也可以重复多次
  • 样本总数一般是用组合的思路,去计算

2.2 举例 

2.2.1  题目1:10个球,包含1个白球,9个黑球,求摸1次里面有白球的概率

定义:摸1次里面有白球,这个事件为a

下面是3种解题思路,都可以

古典概型的计算思路

p(x=a)=  C(1,1)  / C(10,1) = 1 / 10 = 1/10

如果用1重伯努利试验(01分布)的计算思路

P{X=k}=p^k*(1−p)^1−k  ,k=0,1 注意01分布k不代表次数,因为就1次,而是代表0,1两种结果

P{X=k}=0.1*1^1*(1-0.1)^(1−1) =0.1*1*1=0.1

如果用几何分布的计算思路

P{X=n} = p*(1−p)^(n−1) 其中 n是试验次数,最后1次成功

P{X=n} = p*(1−p)^(n−1) = 0.1*0.9^0=0.1

如果用N重伯努利试验(二次分布)的计算思路

因为只做了1次试验,n=1, 而且第1次就抽中p对应的结果

p(x=a)= C(1,1) *(1/10)^1*(9/10)^0 =1* 1/10 =1/10

2.2.2 题目2:10个球,包含1个白球,9个黑球,求摸2次里面有白球的概率

定义:摸2次里面有白球,这个事件为a

古典概型的计算思路

p(x=a)=  C(1,1) *C(9,1) / C(10,2) =9 /(10*9/2)=1/5

因为试验次数超过1次,无法用01分布解决问题

因为不是最后1次才成功,无法用几何分布解决问题

如果用N重伯努利试验的计算思路

试验2次, n=2, 只有1次成功了(总共也只有1个白球)

p(x=a)=C(2,1)*(1/10)*(1/9)=2*1/10*1/9=?错误!

不能这样算,因为第1次和第2次试验,不是完全一样的情况(只有放回的情况才会完全一样)

第1次是(9+1)选1,第2次是(9+0)选1完全不是一样的

伯努利试验,要求每次试验中,相同事件发生的概率均一样。

3 伯努利概型  (伯努利试验) (重点是只划分为2种结果+多次试验概率稳定!!!)

伯努利试验是一个有两种结果的简单试验,它的结果是成功或失败,黑或白,开或关,没有中间的立场。认为,或者(简化)认为一个随机试验只有两种结果

伯努利概型是一种基于独立重复试验,它的基本特征:

  • 在一组固定不变的条件下重复地做一种试验。
  • 每次试验的结果只有两个:事件发生或不发生,或多种结果归纳为高度抽象为两种
  • 每次试验中,相同事件发生的概率均一样。
  • 各次重复试验的结果是相互独立,互不影响的。

  • 1重伯努利试验 就是 0-1分布
  • n 重伯努利试验 就是二项分布     p=C(n,k)*p^k*(1-p)^n-k

4 区别

5 共同点

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