本文内容借鉴一本我非常喜欢的书——《数据结构与算法图解》。学习之余，我决定把这本书精彩的部分摘录出来与大家分享。 

---

写在前面

算法这个词听起来很深奥，其实不然。它只是解决某个问题的一套流程。 

准备一碗麦片的流程也可以说是一种算法，它包含以下 4步（对我来说是 4步吧）。

(1) 拿个碗。

(2) 把麦片倒进碗里。
(3) 把牛奶倒进碗里。
(4) 把勺子放到碗里。

在计算机的世界里，算法则是指某项操作的过程。

上一章我们研究了 4种主要操作，包括读取、查找、插入和删除。

这一章我们还是会经常提到它们，而且一种操作可能会有不止一种做法。也就是说，一种操作会有

多种算法的实现。

我们很快会看到不同的算法能使代码变快或者变慢——高负载时甚至慢到停止工作。不过，现在先

来认识一种新的数据结构：有序数组。它的查找算法就不止一种，我们将会学习如何选出正确的那

种。

---

1.有序数组

有序数组跟上一章讨论的数组几乎一样，唯一区别就是有序数组要求其值总是保持有序。即每次插

入新值时，它会被插入到适当的位置，使整个数组的值仍然按顺序排列。

以数组 [3,17,80,202] 为例。

假设这是个常规的数组，你准备将 75插入，那就可以把它放到尾端，如下所示。

如上一章所述，计算机只要 1步就能完成这种操作。

但如果这是一个有序数组，你就必须要找到一个适当的位置，使插入 75 之后整个数组依然有序。

做起来可不像说的那么简单。整个过程不可能一步完成，因为计算机需要先找出那个适当的位置，

然后将其及以后的值右移来腾出空间给 75。

下面就来介绍分解的步骤。

先回顾一下原始的数组。

 第 1步：检查索引 0的值，看 75应该在它的左边还是右边。

因为 75大于 3，所以 75应该在它右边的某个位置。而具体的位置，目前还是不能确定，于是再检查下一个格子。

第 2步：检查下一格的值。

因为 75大于 17，所以继续

第 3步：检查下一格的值。

 

这次是 80，大于 75。因为这是第一次遇到大于 75的值，可想而知，必须把 75放在 80的左侧以使整个数组维持有序。但要在这里插入 75，还得先将它的位置空出来。

第 4步：将最后一个值右移。

第 5步：将倒数第二个值右移。

第 6步：终于可以把 75插入到正确的位置上了。

可以看到，往有序数组中插入新值，需要先做一次查找以确定插入的位置。这是它跟常规数组的关

键区别（在性能方面）之一。虽然插入的性能比不上常规数组，但在查找方面，有序数组却有着特

殊优势。

---

2.查找有序数组

上一章介绍了常规数组的查找方式：从左至右逐个格子检查直至找到。这种方式称为线性查找。

接下来看看有序数组的线性查找跟常规数组有何不同。

设一个常规数组 [17,3,75,202,80] ，如果想在里面查找 22（其实并不存在），那你就得逐个元素

去检查，因为 22 可能在任何一个位置上。要想在到达末尾之前结束检查，那么所找的值必须在末

尾之前出现。

然而对于有序数组来说，即便它不包含要找的值，我们也可以提早停止查找。假设要在有序数组

[3,17,75,80,202] 里查找 22，我们可以在查到 75的时候就结束，因为 22不可能出现在 75的右边。

以下是用C语言实现的有序数组线性查找。

int Search(int arr[], int sz,int val)
{
	//遍历数组的每个元素
	for (int i = 0; i < sz; i++)
	{

		if (arr[i] > val)
		{
			return -1;
		}
		if (arr[i] == val)
		{
			//找到了，返回val的索引
			return i;
		}
	}
	//找不到，返回-1
	return -1;
}

因此，有序数组的线性查找大多数情况下都会快于常规数组。除非要找的值是最后那个，或者比最

后的值还大，那就只能一直查到最后了。

只看到这里的话，可能你还是不会觉得两种数组在性能上有什么巨大区别。

这是因为我们还没释放算法的潜能。这是接下来就要做的

今天我们提到的查找有序数组的方法就只有线性查找。但其实，线性查找只不过是查找算法的其中

一种而已。这种逐个格子检查直至找到为止的过程，并不是查找的唯一途径。

有序数组相比常规数组的一大优势就是它可以使用另一种查找算法。此种算法名为二分查找，它比

线性查找要快得多。

---

3.二分查找

你小时候或许玩过这样一种猜谜游戏（或者现在跟你的小孩玩过）：我心里想着一个 1到 100之间

的数字，在你猜出它之前，我会提示你的答案应该大一点还是小一点。

你应该凭直觉就知道这个游戏的策略。一开始你会先猜处于中间的 50，而不是 1。为什么？

因为不管我接下来告诉你更大或是更小，你都能排除掉一半的错误答案！

如果你说 50，然后我提示要再大一点，那么你应该会选 75，以排除掉剩余数字的一半。如果在  

75之后我告诉你要小一点，你就会选 62或 63。总之，一直都猜中间值，就能不断地缩小一半的范

围。

下面来演示这个过程，但仅以 1到 10为例。

这就是二分查找的通俗描述。

有序数组相比常规数组的一大优势就是它除了可以用线性查找，还可以用二分查找。常规数组因为

无序，所以不可能运用二分查找。 为了看出它的实际效果，假设有一个包含 9个元素的有序数组。

计算机不知道每个格子的值，如下图所示。

然后，用二分查找来找出 7，过程如下。

第 1步：检查正中间的格子。因为数组的长度是已知的，将长度除以 2，我们就可以跳到确切的内

存地址上，然后检查其值。

值为 9，可推测出 7应该在其左边的某个格子里。而且，这下我们也排除了一半的格子，即 9右边

的那些（以及 9本身）。

第 2步：检查 9左边的那些格子的最中间那个。因为这里最中间有两个，我们就随便挑了左边的。

它的值为 4，那么 7就在它的右边了。由此 4左边的格子也就排除了。 

第 3步：还剩两个格子里可能有 7。我们随便挑个左边的。

第 4步：就剩一个了。（如果还没有，那就说明这个有序数组里真的没有 7。） 

终于找到 7了，总共 4步。是的，这个有序数组要是用线性查找也会是 4步，但稍后你就会见识到

二分查找的强大。

以下是二分查找的 C语言实现。

int Search(int arr[], int sz, int val)
{
	int left = 0;                         //定义一个左指针
	int right = sz - 1;                   //定义一个右指针
	while (left <= right)
	{
		int mid = left+(right-left) / 2;  //防止越界
		if (arr[mid] == val)              //找到了，返回下标
		{
			return mid;
		}
		if (arr[mid] < val)
		{
			left = mid + 1;               //让mid+1成为新的左指针
		}
		if (arr[mid] > val)
		{
			right = mid - 1;              //让mid-1成为新的右指针
		}
	}
	return -1;                            //没找到，返回-1
}

---

4.二分查找与线性查找

对于长度太小的有序数组，二分查找并不比线性查找好多少。但我们来看看更大的数组。

对于拥有 100个值的数组来说，两种查找需要的最多步数如下所示。

 线性查找：100步

 二分查找：7步

用线性查找的话，如果要找的值在最后一个格子，或者比最后一格的值还大，那么就得查遍每个格

子。有 100个格子，就是 100步。

二分查找则会在每次猜测后排除掉一半的元素。100 个格子，在第一次猜测后，便排除了50 个。

再换个角度来看，你就会发现一个规律。

长度为 3的有序数组，二分查找所需的最多步数是 2。

若长度翻倍，变成 7（以奇数为例会方便选择正中间的格子，于是我们把长度翻倍后又增加

了一个数），则最多步数会是 3。

若再翻倍（并加 1），变成 15个元素，那么最多步数会是 4

规律就是，每次有序数组长度乘以 2，二分查找所需的最多步数只会加 1。

这真是出奇地高效。

相反，在 3 个元素的数组上线性查找，最多要 3 步，7 个元素就最多要 7 步，100 个元素就最多要

100步，即元素有多少，最多步数就是多少。数组长度翻倍，线性查找的最多步数就会翻倍，而二

分查找则只是增加 1 步。

这种规律可以用下图来展示。

如果数组变得更大，比如说 10 000个元素，那么线性查找最多会有 10 000步，而二分查找最多只

有 14步。再增大到 1 000 000个元素，则线性查找最多有 1 000 000步，二分查找最多只有 20

步。

---

总结

关于算法的内容就是这些。很多时候，计算一样东西并不只有一种方法，换种算法可能会极大地影

响程序的性能。

同时你还应意识到，世界上并没有哪种适用于所有场景的数据结构或者算法。你不能因为有序数组

能使用二分查找就永远只用有序数组。在经常插入而很少查找的情况下，显然插入迅速的常规数组

会是更好的选择。