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一. 一维插值

interp1函数在上个博客中（如下链接）已经更新了，此处再补充两个相关例题。

基于MATLAB的数据插值运算：Lagrange与Hermite算法（附完整代码）_唠嗑！的博客-CSDN博客

例题1

自行选择来自函数f(x)的数据点：

根据选择的数据进行插值处理，得出曲线。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

x=0:0.12:1;
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);

%调用interp1()函数
x1=0:.02:1;
y0=(x1.^2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1);
y1=interp1(x,y,x1);
y2=interp1(x,y,x1,'pchip'); %分段三次Hermite插值
y3=interp1(x,y,x1,'spline'); %三次样条函数插值
y4=interp1(x,y,x1,'nearest'); %最近邻点插值

plot(x1,[y1',y2',y3',y4'],':',x,y,'o',x1,y0) %五条曲线，一个描点

%误差分析
[max(abs(y0(1:49)-y2(1:49))),max(abs(y0-y3)),max(abs(y0-y4))]

运行结果：

ans =

   0.017651383860966   0.008613955066235   0.159826013541615

 例题2

对f(x)进行Lagrange插值，并画图与标准图像对比。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

x0=-1+2*[0:10]/10;
y0=1./(1+25*x0.^2); %x0与y0生成数据点

x=-1:.01:1;
y=lagrange(x0,y0,x); %Lagrange插值

ya=1./(1+25*x.^2); %标准值

plot(x,ya,x,y,':') %虚线代表Lagrange插值运算后的图像

function y=lagrange(x0,y0,x)
ii=1:length(x0);
y=zeros(size(x));
for i=ii
    ij=find(ii~=i);
    y1=1;
    for j=1:length(ij),y1=y1.*(x-x0(ij(j)));
    end
    y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij));
end
end

运行结果：

二.二维插值

interp2命令作为二维数据内的插值运算，一共有三种常用的调用格式

格式1

ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI)

返回矩阵ZI，参量X和Y必须是单调的，且具有相同的划分格式，类似由命令meshgrid生成的一样。如果XI和YI中有在X与Y范围之外的点，那么就会返回NaN。

 格式2

ZI=interp2(Z,XI,YI)

缺省的表示形式，X=1:n,Y=1:m，且[m,n]=size(Z)。具体计算类似格式1

格式3

ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)

method表明用指定的算法计算二维插值。常用的算法有以下四种：

• 'linear'：双线性插值算法，一种缺省算法
• 'nearest'：最临近插值
• 'spline'：三次样条插值
• 'cubic'：双三次插值

例题3

由z=f(x,y)可计算出一些较稀疏的网格数据，尝试对整个函数曲面进行插值拟合，并比较拟合结果。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

%绘制已知数据的网格图
[x,y]=meshgrid(-3:.6:3,-2:.4:2);
z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
surf(x,y,z), axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
title('初始网格图');

%选择较密的插值点，用默认的线性插值算法进行插值
[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);
z1=interp2(x,y,z,x1,y1);
figure;
surf(x1,y1,z1),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
title('默认线性插值算法画图');

%立方和样条插值
z2=interp2(x,y,z,x1,y1,'cubic');
z3=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');
figure;
surf(x1,y1,z2),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
title('立方插值图');
figure;
surf(x1,y1,z3),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
title('样条插值图');

%比较立方和样条插值算法误差
z_normal=(x1.^2-2*x1).*exp(-x1.^2-y1.^2-x1.*y1);
figure;
surf(x1,y1,abs(z_normal-z2)),axis([-3,3,-2,2,0,0.08]);
title('立方算法误差');
figure;
surf(x1,y1,abs(z_normal-z3)),axis([-3,3,-2,2,0,0.025])
title('样条算法误差');

运行结果：

三. 二维一般分布数据的插值

MATLAB中含有可对非网格数据进行插值的函数，调用的函数如下：

z=griddata(x0,y0,z0,x,y,'method')

上述中的method算法主要有五种，如下：

• 'v4'：MATLAB内含的插值算法，公认效果比较好
• 'linear'：双线性插值算法，属于缺省算法
• 'nearest'：最临近插值
• 'spline'：三次样条插值
• 'cubic'：双三次插值 

例题4

在x为[-3,3]，y为[-2,2]的矩形区域内随机选择一组坐标，用'v4'和'cubic'插值法进行处理，并对误差进行比较。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

x=-3+6*rand(200,1);
y=-2+4*rand(200,1); %产生随机数
z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);

%cubic方法
z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'cubic');
surf(x1,y1,z1),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
title('cubic方法');

%v4方法
z2=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');
figure;
surf(x1,y1,z2),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
title('v4方法');

%误差分析
z0=(x1.^2-2*x1).*exp(-x1.^2-y1.^2-x1.*y1);
figure;
surf(x1,y1,abs(z0-z1)),axis([-3,3,-2,2,0,0.25])
title('cubic方法的误差');
figure;
surf(x1,y1,abs(z0-z2)),axis([-3,3,-2,2,0,0.15])
title('v4方法的误差');

运行结果：

例题5

在x为[-3,3]，y为[-2,2]的矩形区域随机选择一组坐标中，对分布不均匀的数据，进行插值分析。

解：

本题我将MATLAB代码分成两部分。

（1）样本点数据处理的MATLAB代码如下：

clc;clear;

x=-3+6*rand(200,1);
y=-2+4*rand(200,1);
z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); %生成已知数据
plot(x,y,'x') %样本点的二维分布
title('样本点的二维分布');
figure;
plot3(x,y,z,'x'),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]),grid %三维图
title('三维样本图');

%去除在(-1,-1/2)点为圆心，以0.5为半径的圆内的点
ii=find((x+1).^2+(y+0.5).^2>0.5^2); %找出满足条件的点坐标
x=x(ii);y=y(ii);z=z(ii);
figure;
plot(x,y,'x')
t=[0:.1:2*pi,2*pi];
x0=-1+0.5*cos(t);
y0=-0.5+0.5*sin(t);
line(x0,y0) %在图形上叠加该圆，观察圆内样本点是否被去除
title('去除圆内点');

运行结果：

 

 

（2）插值与误差分析

MATLAB代码如下：

clc;clear;

x=-3+6*rand(200,1);
y=-2+4*rand(200,1);
z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); %生成已知数据
t=[0:.1:2*pi,2*pi];
x0=-1+0.5*cos(t);
y0=-0.5+0.5*sin(t);

%用新样本拟合出曲面
[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);
z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');
surf(x1,y1,z1),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
title('拟合插值图');

%误差分析
z0=(x1.^2-2*x1).*exp(-x1.^2-y1.^2-x1.*y1);
figure;
surf(x1,y1,abs(z0-z1)),axis([-3,3,-2,2,0,0.15])
title('误差图');

figure;
contour(x1,y1,abs(z0-z1),30);
hold on,plot(x,y,'x');
line(x0,y0) %误差的二维等高线图
title('误差的二维等高线图');

 运行结果：