假设我们有 3 个数字 N、x 和 y，它们总是 >=1 。
N 将大于 x 和 y 并且 x 将大于 y。
现在我们需要找到 1 到 N 之间所有可被 x 或 y 整除的数的总和。
我想到了这个:
sum = 0;
for(i=1;i<=N;i++)
{
if(i%x || i%y)
sum += i;
}
有没有更好的方法来避免 for 循环求和？
我已经苦恼了很多天，但没有任何好转。
如果 N 的值有上限，我们可以使用查找方法来加速该过程。
谢谢大家
我想要一个基于 C/C++ 的解决方案。是否有内置功能可以执行此操作？还是我必须编写算法代码？
最佳答案
是的。您可以完全取消 for 循环并在常数时间内求和。
根据Inclusion–exclusion principle将 x 的倍数和 y 的倍数相加，然后减去相加 两次 的公倍数应该得到所需的总和。
Required Sum = sum of ( multiples of x that are <= N ) +
sum of ( multiples of y that are <= N ) -
sum of ( multiples of (x*y) that are <= N )
例子:
N = 15
x = 3
y = 4
Required sum = ( 3 + 6 + 9 + 12 + 15) + // multiples of 3
( 4 + 8 + 12 ) - // multiples of 4
( 12 ) // multiples of 12
如上所示，我们不得不减去 12，因为它被加了两次，因为它是一个公倍数。
整个算法O(1)如何？
令sum(x, N) 为小于或等于N 的x 的倍数之和。
sum(x,N) = x + 2x + ... + floor(N/x) * x
= x * ( 1 + 2 + ... + floor(N/x) )
= x * ( 1 + 2 + ... + k) // Where k = floor(N/x)
= x * k * (k+1) / 2 // Sum of first k natural num = k*(k+1)/2
现在 k = floor(N/x) 可以在常数时间内计算。
一旦 k 已知，sum(x,N) 就可以在常数时间内计算。
因此所需的总和也可以在常数时间内计算。
编辑:
上述讨论仅在x 和y 为co-primes 时成立。 .如果不是，我们需要使用 LCM(x,y) 代替 x*y。找到 LCM 的方法有很多，其中之一就是用 GCD 划分产品。现在 GCD 不能在常数时间内计算，但它的 time complexity可以明显小于线性时间。
关于c++ - 求出 1 到 N 之间所有数字的总和可被 x 或 y 整除，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/4467951/
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