我正在尝试用数值方法求解 Swift-Hohenberg 方程 http://en.wikipedia.org/wiki/Swift%E2%80%93Hohenberg_equation使用伪谱方案，其中线性项在傅立叶空间中隐式处理，而非线性在实空间中评估。一个简单的欧拉方案用于时间积分。
我的问题是，我提出的 Matlab 代码可以完美运行，而依赖 FFTW 进行傅立叶变换的 C++ 代码在几千个时间步后变得不稳定并发散。我已经追踪到处理非线性项的方式(请参阅 C++ 代码中的注释)。如果我只使用 Phi 的实部，就会发生不稳定。然而，由于数值舍入误差，Phi 应该只有一个可以忽略不计的虚部，而 Matlab 正在做类似的事情，使 Phi 保持纯实数。 Matlab 代码在 Octave 下也运行良好。初始条件可以是这样的
R=0.02*(rand(256,256)-0.5);
在 Matlab 中(小幅度波动)。

长篇小说;

为什么这些代码片段做不同的事情？具体来说，我怎样才能使 C++ 代码以与 Matlab 版本相同的方式工作？

编辑 1:

为了完整起见，我使用 FFTW 提供的 R2C/C2R 函数添加了代码。参见 http://fftw.org/fftw3_doc/Multi_002dDimensional-DFTs-of-Real-Data.html有关详细信息(我希望我的数据布局正确)。此代码始终显示大约 3100 个时间步后的不稳定性。如果我将 dt 减少到例如0.01，10次后出现。

使用复杂 DFT 的 C++ 代码

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <fftw3.h>

int main() {

const int N=256, nSteps=10000;
const double k=2.0*M_PI/N, dt=0.1, eps=0.25;

double *Buf=(double*)fftw_malloc(N*N*sizeof(double));
double *D0=(double*)fftw_malloc(N*N*sizeof(double));

// complex arrays
fftw_complex *Phi=(fftw_complex*)fftw_malloc(N*N*sizeof(fftw_complex));
fftw_complex *PhiF=(fftw_complex*)fftw_malloc(N*N*sizeof(fftw_complex));
fftw_complex *NPhiF=(fftw_complex*)fftw_malloc(N*N*sizeof(fftw_complex));

// plans for Fourier transforms
fftw_plan phiPlan=fftw_plan_dft_2d(N, N, Phi, PhiF, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);
fftw_plan nPhiPlan=fftw_plan_dft_2d(N, N, NPhiF, NPhiF, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);
fftw_plan phiInvPlan=fftw_plan_dft_2d(N, N, Phi, Phi, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE);

std::ifstream fin("R.dat", std::ios::in | std::ios::binary); // read initial condition
fin.read(reinterpret_cast<char*>(Buf), N*N*sizeof(double));
fin.close();
for(int i=0; i<N*N; i++) {
    Phi[i][0]=Buf[i];   //initial condition
    Phi[i][1]=0.0;  //no imaginary part
}

fftw_execute(phiPlan);  //PhiF contains FT of initial condition

for(int j=0; j<N; j++) {
    for(int i=0; i<N; i++) {

        double kx=(i-(i/(N-N/2)*N))*k;
        double ky=(j-(j/(N-N/2)*N))*k;
        double k2=kx*kx+ky*ky;

        D0[j*N+i]=1.0/((1.0 - dt*(eps-1.0 + 2.0*k2 - k2*k2)));  // array of prefactors
    }
}   

const double norm=1.0/(N*N);

for(int n=0; n<=nSteps; n++) {

    if(n%100==0) {
        std::cout<<"n = "<<n<<'\n';
    }

    for(int j=0; j<N*N; j++) {
        // nonlinear term Phi^3
        //NPhiF[j][0]=Phi[j][0]*Phi[j][0]*Phi[j][0]; // unstable
        //NPhiF[j][1]=0.0;
            NPhiF[j][0]=Phi[j][0]*Phi[j][0]*Phi[j][0] - 3.0*Phi[j][0]*Phi[j][1]*Phi[j][1];
            NPhiF[j][1]=-Phi[j][1]*Phi[j][1]*Phi[j][1] + 3.0*Phi[j][0]*Phi[j][0]*Phi[j][1];
    }

    fftw_execute(nPhiPlan); // NPhiF contains FT of Phi^3

    for(int j=0; j<N*N; j++) {
        PhiF[j][0]=(PhiF[j][0] - dt*NPhiF[j][0])*D0[j]; // update
        PhiF[j][1]=(PhiF[j][1] - dt*NPhiF[j][1])*D0[j];

        Phi[j][0]=PhiF[j][0]*norm; // FFTW does not normalize
        Phi[j][1]=PhiF[j][1]*norm;
    }

    fftw_execute(phiInvPlan); // Phi contains the updated Phi in real space
}

for(int i=0; i<N*N; i++) {
    Buf[i]=Phi[i][0];   // saving the real part of Phi
}
std::ofstream fout("Phi.dat", std::ios::trunc | std::ios::binary);
fout.write(reinterpret_cast<char*>(Buf), N*N*sizeof(double));
fout.close();

for(int i=0; i<N*N; i++) {
    Buf[i]=Phi[i][1];   // saving the imag part of Phi
}
fout.open("PhiImag.dat", std::ios::trunc | std::ios::binary);
fout.write(reinterpret_cast<char*>(Buf), N*N*sizeof(double));
fout.close();


fftw_free(D0);
fftw_free(Buf);

fftw_free(Phi);
fftw_free(PhiF);
fftw_free(NPhiF);

fftw_destroy_plan(phiPlan);
fftw_destroy_plan(phiInvPlan);
fftw_destroy_plan(nPhiPlan);

return EXIT_SUCCESS;
}

使用 R2C/C2R 的 C++ 代码

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <fftw3.h>

int main() {

const int N=256, nSteps=3100;
const int w=N/2+1;
const double k=2.0*M_PI/N, dt=0.1, eps=0.25;

double *Buf=(double*)fftw_malloc(N*N*sizeof(double));
double *D0=(double*)fftw_malloc(N*w*sizeof(double));

fftw_complex *Phi=(fftw_complex*)fftw_malloc(N*w*sizeof(fftw_complex));
fftw_complex *PhiF=(fftw_complex*)fftw_malloc(N*w*sizeof(fftw_complex));
fftw_complex *NPhi=(fftw_complex*)fftw_malloc(N*w*sizeof(fftw_complex));

fftw_plan phiPlan=fftw_plan_dft_r2c_2d(N, N, (double*)PhiF, PhiF, FFTW_ESTIMATE);
fftw_plan nPhiPlan=fftw_plan_dft_r2c_2d(N, N, (double*)NPhi, NPhi, FFTW_ESTIMATE);
fftw_plan phiInvPlan=fftw_plan_dft_c2r_2d(N, N, Phi, (double*)Phi, FFTW_ESTIMATE);

std::ifstream fin("R.dat", std::ios::in | std::ios::binary);
fin.read(reinterpret_cast<char*>(Buf), N*N*sizeof(double));
fin.close();
for(int j=0; j<N; j++) {
    for(int i=0; i<N; i++) {
        ((double*)PhiF)[j*2*w+i]=Buf[j*N+i];
        ((double*)Phi)[j*2*w+i]=Buf[j*N+i];
    }
}

fftw_execute(phiPlan); //PhiF contains FT of IC

for(int j=0; j<N; j++) {
    for(int i=0; i<w; i++) {

        double kx=(i-(i/(N-N/2)*N))*k;
        double ky=(j-(j/(N-N/2)*N))*k;
        double k2=kx*kx+ky*ky;

        D0[j*w+i]=1.0/(1.0 - dt*(eps-1.0 + 2.0*k2 - k2*k2));
    }
}

const double norm=1.0/(N*N);

//begin first Euler step
for(int n=0; n<=nSteps; n++) {

    if(n%100==0) {
        std::cout<<"n = "<<n<<'\n';
    }

    for(int j=0; j<N; j++) {
        for(int i=0; i<N; i++) {
            ((double*)NPhi)[j*2*w+i]=((double*)Phi)[j*2*w+i]  *((double*)Phi)[j*2*w+i]  * ((double*)Phi)[j*2*w+i];
        }
    }

    fftw_execute(nPhiPlan); // NPhi contains FT of Phi^3

    for(int j=0; j<N*w; j++) {
        PhiF[j][0]=(PhiF[j][0] - dt*NPhi[j][0])*D0[j];
        PhiF[j][1]=(PhiF[j][1] - dt*NPhi[j][1])*D0[j];
    }

    for(int j=0; j<N*w; j++) {
        Phi[j][0]=PhiF[j][0]*norm;
        Phi[j][1]=PhiF[j][1]*norm;
    }

    fftw_execute(phiInvPlan);

}

for(int j=0; j<N; j++) {
    for(int i=0; i<N; i++) {
        Buf[j*N+i]=((double*)Phi)[j*2*w+i];
    }
}

std::ofstream fout("Phi.dat", std::ios::trunc | std::ios::binary);
fout.write(reinterpret_cast<char*>(Buf), N*N*sizeof(double));
fout.close();

fftw_destroy_plan(phiPlan);
fftw_destroy_plan(phiInvPlan);
fftw_destroy_plan(nPhiPlan);

fftw_free(D0);
fftw_free(Buf);
fftw_free(Phi);
fftw_free(PhiF);
fftw_free(NPhi);
}

Matlab代码

function Phi=SwiHoEuler(Phi, nSteps)
epsi=0.25;
dt=0.1;

[nR nC]=size(Phi);
if mod(nR, 2)==0
    kR=[0:nR/2-1 -nR/2:-1]*2*pi/nR;
else
    kR=[0:nR/2 -floor(nR/2):-1]*2*pi/nR;
end
Ky=repmat(kR.', 1, nC);

if mod(nC, 2)==0
    kC=[0:nC/2-1 -nC/2:-1]*2*pi/nC;
else
    kC=[0:nC/2 -floor(nC/2):-1]*2*pi/nC;
end
Kx=repmat(kC, nR, 1); % frequencies
K2=Kx.^2+Ky.^2; % used for Laplacian in Fourier space
D0=1.0./(1.0-dt*(epsi-1.0+2.0*K2-K2.*K2)); % linear factors combined

PhiF=fft2(Phi);

for n=0:nSteps
    NPhiF=fft2(Phi.^3); % nonlinear term, evaluated in real space
    if mod(n, 100)==0
        fprintf('n = %i\n', n);
    end
    PhiF=(PhiF - dt*NPhiF).*D0; % update

    Phi=ifft2(PhiF); % inverse transform
end
return

最佳答案

看看这些行:

for ...
  double kx=(i-(i/(N-N/2)*N))*k;
  double ky=(j-(j/(N-N/2)*N))*k;
  double k2=kx*kx+ky*ky;
...

我不得不承认我没有研究算法，但“i/(N-N/2)”由整数组成，我怀疑你的 kx、ky 和 ​​k2 是按预期计算的。您可以尝试这样的方法来避免潜在的整数舍入错误:

for ...
  double kx=( double(i) -( double(i)/(0.5*double(N*N)))*k; // where in our case: (N-N/2)*N) = 0.5*N*N
  ...
...

关于c++ - 数值不稳定性 FFTW <> Matlab，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/6847708/