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目录

递归树

1.递归构建二进制串 

2.全排列的 DFS 解法

3.全排列的 BFS 解法

4.数的划分法

5.图书推荐

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递归树

递归树是一种用于分析递归算法时间复杂度的工具。它可以将递归算法的执行过程可视化，从而更好地理解算法的时间复杂度。

递归树的构造方法如下：

1. 首先，将递归算法的输入规模表示为根节点。
2. 然后，将递归算法的每一次递归调用表示为树的一个子节点。
3. 对于每个子节点，将其表示为一个与父节点相同的问题，但是规模更小的子问题。
4. 重复上述步骤，直到递归算法的规模为 1 或者 0。

递归树的叶子节点表示递归算法的基本操作，而递归树的深度表示递归算法的递归深度。通过递归树，可以很容易地计算出递归算法的时间复杂度。

以下是一个递归树的例子：

构建二进制串 

 这个递归树表示的是一个将一个大小为 n 的问题分成两个大小为 n/2 的子问题的递归算法。从根节点到叶子节点的路径长度为 O(log n)，因此，这个递归算法的时间复杂度为 O(n log n)。在实际应用中，递归树常常用于分析递归。

1.递归构建二进制串 

public class A {
    public static void main(String[] args) {
   
    	dg(0,"");

    }

	private static void dg(int depth, String bin) {
		if(depth==4) {
			System.out.println(bin);
			return ;
		}
		
		dg(depth+1,bin+"0");
		dg(depth+1,bin+"1");
		
	}

}

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 

修改一下:

public class A {
    public static void main(String[] args) {
   
    	DFS(0,"");

    }

	private static void DFS(int depth, String bin) {
		if(depth==4) {
			System.out.println(bin);
			return ;
		}
		
		for (int i = 0; i <= 1; i++) {
			DFS(depth+1,bin+i);
		}
		
		
		
	}

}

优化：用数组存

在这个例子中，我们使用了一个静态数组arr来存储每个深度的值，当深度达到4时，我们输出这个数组。在DFS函数中，我们使用了一个for循环来遍历每个深度的可能性，即0或1，然后将其存储在数组中，并递归调用DFS函数，直到深度达到4。

public class A {
	public static int[] arr=new int[4];
    public static void main(String[] args) {
   
    	DFS(0);

    }

	private static void DFS(int depth) {
		if(depth==4) {
			System.out.println(Arrays.toString(arr));
			return ;
		}
		
		for (int i = 0; i <= 1; i++) {
			arr[depth]=i;
			DFS(depth+1);
		}
		
		
		
	}

}

 结果：

[0, 0, 0, 0] [0, 0, 0, 1] [0, 0, 1, 0] [0, 0, 1, 1]
[0, 1, 0, 0] [0, 1, 0, 1] [0, 1, 1, 0] [0, 1, 1, 1] 
[1, 0, 0, 0] [1, 0, 0, 1] [1, 0, 1, 0] [1, 0, 1, 1] 
[1, 1, 0, 0] [1, 1, 0, 1] [1, 1, 1, 0] [1, 1, 1, 1] 

2.全排列的 DFS 解法

这段代码是一个全排列的DFS解法。我们使用了递归的方式来生成所有可能的排列。初始时，我们调用DFS函数，初始深度为0，初始答案为空字符串，n为3。在DFS函数中，我们首先判断当前深度是否达到n，如果达到，则输出答案并返回。否则，我们遍历所有可能的下一位数，如果该数未被使用，则将其加入到答案中，并递归调用DFS函数，深度加1。当递归返回时，我们将该数从答案中删除，以便遍历其他可能的下一位数。下面是代码实现：

public class A {
    public static void main(String[] args) {
   
    	DFS(0,"",3);

    }

	private static void DFS(int depth, String ans,int n) {
		if(depth==n) {
			System.out.println(ans);
			return ;
		}
		
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if(!ans.contains(""+i))
			DFS(depth+1,ans+i,n);
		}
		
	
	}

}
 

123 132 213 231 312 321 

3.全排列的 BFS 解法

这段代码是一个全排列的BFS解法。我们使用了一个队列来存储每个深度的可能性，初始时，队列中包含了所有可能的第一位数。然后，我们遍历队列中的所有元素，将当前深度的可能性加入到队列中。当深度达到n时，队列中的所有元素即为所有可能的排列。

下面是代码实现：

public class A {
    public static void main(String[] args) {
        int n=3;
        Queue<String> q=new LinkedList<String>();
        //将所有可能的第一位数加入队列中
        for (int i = 1; i <= n; i++) q.offer(""+i);
        while(!q.isEmpty()) {
            String head=q.poll();
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                //如果当前深度的可能性中已经包含了i，则跳过
                if(head.contains(""+i)) continue;
                String son=head+i;
                //如果当前深度为n，则输出当前深度的可能性
                if(son.length()==n) System.out.println(son);
                //否则将当前深度的可能性加入到队列中
                else q.offer(son);
            }
        }


    }

}
  

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4.数的划分法

问题描述

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的:
1，1，5; 

1，5，1;                 

5，1，1;

问有多少种不同的分法。

输入格式
n，k
输出格式
一个整数，即不同的分法
样例输入
7 3
样例输出
4 {四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}

给定一个正整数n，将其拆分成k个正整数的和，求方案数。这里使用了深度优先搜索的方法，从min开始枚举每个数，递归求解。其中，fanan表示当前的方案，ans表示方案数，cnt表示调用次数。

public class A {
	public static int cnt;//调用次数
	public static int ans;//方案数
    public static void main(String[] args) {
    	int n=7;//给定的正整数
    	int k=3;//将其拆分成k个正整数的和
    	dfs(n,k,1,"");//从1开始枚举每个数
    	System.out.println("方案数："+ans);//输出方案数
    	System.out.println("调用次数："+cnt);//输出调用次数
    	


    }

	/**
	 * 深度优先搜索
	 * @param n 给定的正整数
	 * @param k 将其拆分成k个正整数的和
	 * @param min 枚举的最小值
	 * @param fanan 当前的方案
	 */
	private static void dfs(int n, int k, int min, String fanan) {
		cnt++;//调用次数加1
		if(k==1 && min<=n) {//如果k=1且min<=n
			ans++;//方案数加1
			System.out.println(fanan+n);//输出方案
			return ;
		}
		if(min*k>n) return ; //剪枝
		for (int i = min; i < n; i++) {//枚举每个数i
			dfs(n-i,k-1,i,fanan+i+"+");//递归搜索
		}
		
	}

}

1+1+5
1+2+4
1+3+3
2+2+3
方案数：4
调用次数：15

5.图书推荐

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