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什么是分形

大龙10 2023-03-28 原文

书名：代码本色：用编程模拟自然系统
作者：Daniel Shiffman
译者：周晗彬
ISBN：978-7-115-36947-5
第8章目录

8.1　什么是分形

1、分形

  • 术语分形（源自拉丁文fractus，意思是“破碎”）是数学家本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）于1975年提出的。
  • 在他的《大自然的分形几何》（The Fractal Geometry of Nature）中，分形被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都是整体缩小后的形状（至少近似）”。

2、曼德博集合

曼德博集合图
  • 最著名且最具代表性的分形图案是以曼德博的名字命名的，也就是上图的曼德博集合。
  • 曼德博集合是由复二次多项式迭代生成的。
  • 有一个经典的数学论题：曼德博集合到底是无穷的，还是有界限的？这种“逃逸时间”算法和本章所讲的递归技术比起来，实用性较低。

3、树形结构分形

让我们用两个简单的例子解释分形的定义。

  • 首先，思考树形分支结构


  • 注意，在图8-3中每一个树枝的末尾都会分出两个树枝，而这些树枝的末尾也有两个树枝，如此一直延续。

  • 假如我们从树上取下一个树枝，然后检查它的形状，会发现什么？


  • 仔细看上面的树枝，我们发现它的形状和整棵树类似。这就是曼德博所说的自相似，每一部分都是“整体缩小后的形状”。

4、随机分形

  • 上面这棵树是对称的，而且每个部分都是整体的复制品。但分形不一定是完美的自相似图形。比如股票行情图。

  • 股票行情图就是一种分形图，因为它在任何时间尺度上看起来都是一样的。
    不看标题，你无法知道它到底是一年的数据，还是一天的数据，或是一个小时的数据。

  • 这就是随机分形的一个例子，随机分形指的是根据概率和随机性构建的分形。

  • 不同于确定性的树形结构，随机分形只是在数据上有自相似的特性。在本书后面的例子中，我们会同时学习分形图案构建背后的确定性和随机性技术。

5、分形几何的要素

  • 自相似
    尽管自相似是分形的重要特征，但你需要认识到，单纯的自相似并不能构成分形。一条直线也具有自相似的特征，它在任意缩放尺度下看起来都是一样的，而且可以看成是由无数短直线构成的，但直线并不是分形。分形的特点是在小尺度下也有精细的结构（继续缩放股市行情图，你还是会发现数据的波动），而且这个结构不能用欧氏几何描述。如果你可以说“这是一条直线！”，那么这就不是一个分形。
  • 递归
    分形都有一个递归定义，在学习分形的开发技术和代码示例之前，我们要先学会递归。
什么是section德博li

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