浙江赛区二等奖方案
事实证明根据公式做功能全同运算电路上限太低，没戏
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摘要：系统基于蔡氏电路，以运算放大器单元构成主拓扑结构，搭建蔡氏电路系统的功能全同电路，使用电阻、电容和运算放大器三种基本器件设计了一个能生成稳定周期信号和混沌信号的信号产生实验装置。装置采用单电源供电，通过拨码开关选择产生不同种类信号。经测试，系统完成了题目部分要求，能够产生单倍、二倍、三倍周期的稳定周期相图以及单涡旋混沌信号相图和双涡旋混沌信号相图，且幅度不小于电源电压 VCC 的 80%，基本满足题目对装置性能的要求。
混沌信号的电路实现具有多种方案如下：
方案一：蔡氏电路（Chua’s circuit）
方案二：范德坡电路（Vanderbilt circuit）
方案三：考比兹电路（Colpitts circuit）
方案一中的蔡氏电路是一种简单的非线性电子电路，由蔡少棠教授发表，它可以表现出标准的混沌理论行为。蔡氏电路达成的标准简单，实现方便。电路主要由两个电容、一个电感、一个有源电阻和一个蔡氏二极管构成。电感可以与模拟电感替代，蔡氏二极管由复阻抗转化器替代。因此，整个电路只由电阻、电容、运放构成。方案二依靠范德坡震荡（一种非保守的、非线性阻尼振荡）实现信号输出，需要外部激励源，不适合本题。方案三中存在三极管，由于赛题要求装置中不得使用三极管，同样不适用于该题。
综上，本设计基于方案一进行混沌信号产生实验装置开发。混沌电路基于蔡氏电路进行全等效设计，实现在保持经典蔡氏电路状态方程严格不变的情况下，完全由运放和电阻、电容搭建，不包含电感器件，满足要求（3）。
电阻具有碳膜电阻、金属氧化物电阻等类型；电容具有瓷片电容、陶瓷电容、独石电容等。由于蔡氏电路工作对元件精度要求较高，采用高精度基本电子元器件器件和电位器搭建电路。
方案一：单片机控制继电器，由于赛题要求装置中不得使用三极管，而驱动继电器需要使用三极管扩流，故放弃该程控方案。
方案二：单片机控制模拟开关，模拟开关内部内阻较大不适合在该题使用。
方案三：拨码开关手动调节。开关内阻小，切换方便。
最终选择方案三为本实验装置状态控制方案。
蔡氏电路由一个电感、两个电容、一个电阻和一个非线性电阻组成,如图 2（a）所示。非线性电阻(即蔡氏二极管)的伏安关系(VCR)特性如图 2（b）所示，它是一个由分段线性函数描述的非线性负电阻。电路中电感 L 和电容 C 构成了一个 LC 振荡电路，有源非线性电阻 R（称为蔡氏二极管）和电容 C 组成了一个有源 RC 滤波电路，它们通过一个电阻 R 线性耦合在一起，形成了只有五个元件的、能够产生复杂混沌现象的非线性电路。
蔡氏电路由两个电容 C1,C2，和一个电感 L 充当能量储存元件。一个常规电阻 R 作为本地有源电阻。以及一个蔡氏二极管 RNL 作为电路中的非线性元件。
其中非线性元件满足：
（式中 Ga，Gb 以及 E 为由元件特性决定的常数）
蔡氏电路有三个动态元件，分别是电容 C1、C 和电感 L，对应的三个状态变量是电容两端的电压𝑢1和𝑢2，流过电感的电流𝑖𝐿。根据电阻、电容和电感元件的伏安关系特性，应用基尔霍夫电压、电流定律（KVL 和 KCL)，可以导出基于这三个状态变量的微分方程组为：
其中，𝑓(𝑢1)是描述蔡氏二极管𝑅𝑁的伏安特性函数，𝑟是电感的寄生电阻值。为了便于分析，基于蔡氏电路的状态方程推导出其无量纲方程。将蔡氏混沌电路中各个电路变量和参数重新进行如下标度处理，令：
式中，G 为电阻 R 的电导值，有 G=1/R，则式子改写为：
且有
为蔡氏方程或者蔡氏系统，通过计算，得出蔡氏方程典型参数值为 a=-1.1970、b=-
0.6464、𝛼=10 和𝛽=14.5140，通常等效形式为：
所以电路中的非线性部分由 A5（运放单元）实现，电路方程为
蔡氏电路混沌信号频带宽由于其非线性，采用估算的方法。
由于混沌信号的非周期性，其带宽无穷大，利用 Hopf 分叉时的频率来估算混沌信号其谱能量已经减弱，因此，实际混沌信号带宽比估算的结果要大。根据前面公式，可见电路中影响带宽最大的因素为电容。电容越小，带宽越大。因此同时减小三个电容，增加其带宽。但由于失真原因和电容容值的限定，带宽最高到 40K。选用增益带宽积较大的运算放大器实现。
通过全运放蔡氏系统，由五个运算放大器构造出基本运算单元组合在电路中实现蔡氏系统状态方程，可以实现在电路中去除电感而与原先的电路功能保持一致。通过改变反馈计算单元电阻值或电容值来改变图像的函数。
混沌电路设计采用基于运算放大器的蔡氏电路的功能全同电路设计。该电路可以通过改变 R3 电阻值或 C2 电容值来实现不同混沌图像的生成。
状态控制电路采用拨码开关切换回路内连接的电阻，通过阻值的变化改变相图的形状，稳定性相较于切换修改电容方案更好。
表 1 通过调节电容 C2 改变对应相图
| 相图类型 | 是否实现 | 对应容值 |
|---|---|---|
| 单倍周期 | 是 | 68nf |
| 双倍周期 | 是 | 88nf |
| 三倍周期 | 是 | 103.3nf |
| 单涡旋混沌信号 | 是 | 102.55nf |
| 双涡旋混沌信号 | 是 | 147nf |
表 2 通过改变电阻 R3 改变对应相图
| 相图类型 | 是否实现 | 对应阻值 |
|---|---|---|
| 单倍周期 | 是 | 1.81k |
| 双倍周期 | 是 | 1.71k |
| 三倍周期 | 是 | 1.65k |
| 单涡旋混沌信号 | 是 | 1.65k |
| 双涡旋混沌信号 | 是 | 1.61k |
通过测试，所制作的实验装置基本实现了题目要求（1）（3）（4）主词条，要求（2）未达到部分指标。系统以运放单元搭建主拓扑结构，利用全运放蔡氏电路完成了蔡氏混沌信号产生的功能，效果良好，但双涡旋混沌信号的信号带宽较小。
系统基于蔡氏电路，搭建功能全同电路，使用电阻、电容和运算放大器设计一个能生成稳定周期信号和混沌信号的信号产生实验装置，装置采用单电源供电。可以通过编程设置或开关选择，产生多种稳定周期信号、单涡旋混沌信号和双涡旋混沌信号。经测试，系统完成了题目部分要求，能够产生单倍、二倍、三倍周期的稳定周期相图以及单涡旋混沌信号相图和双涡旋混沌信号相图，且幅度不小于电源电压 VCC 的 80%
| 实物 | 仿真 | 相图标准 |
|---|---|---|
 |  |  |
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