文章目录

• 一、树是什么？
• 二、树的概念
• • 重要概念
  • 了解概念
• 三、二叉树
• 四、二叉树的存储
• • 二叉树的表示方法
  • 手动创建二叉树
• 五、二叉树的遍历
• • 前序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
  • 层序遍历

一、树是什么？

我们已经掌握了数组和链表，为什么还要有树？先来看看数组和链表的优缺点

数组：因为有索引，所以可以快速地访问到某个元素。但是如果要进行插入或者删除的话，被插入/删除位置之后的元素都得移动，如果插入后超过了数组容量，还得进行数组扩容。可见，数组查询快，增删慢。
链表：没有索引，要查询某个元素，得从第一个元素开始，一个一个往后遍历。但是要进行插入或者删除，无需移动元素，只要找到插入/删除位置的前一个元素即可。所以链表查询慢，增删快。

说到这里，那肯定知道树存在的意义了，没错，它吸收了链表和数组的优点，查询快，增删也快。

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i
<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

二、树的概念

重要概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；

了解概念

树的以下概念只需了解：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点；
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

三、二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
   T1为左子树，T2为右子树
   
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树(这里的有序指的是左右子树的有序的，不是大小有序)

特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   
   二叉树的性质：
   1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
   2 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
   3 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
   4 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log(n+1)上取整
   5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

四、二叉树的存储

二叉树的表示方法

二叉树的表示方法有很多，我们这里以孩子表示法为例

//孩子表示法
    static class TreeNode {
        public int val;
        public TreeNode left;//左孩子
        public TreeNode right;//右孩子

        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
        }
    }

手动创建二叉树

我们用最简单的方法创建这样一棵树。

public void InitTree() {
        TreeNode node1 = new TreeNode(1);
        TreeNode node2 = new TreeNode(2);
        TreeNode node3 = new TreeNode(3);
        TreeNode node4 = new TreeNode(4);
        TreeNode node5 = new TreeNode(5);
        TreeNode node6 = new TreeNode(6);
        TreeNode node7 = new TreeNode(7);
        TreeNode node8 = new TreeNode(8);
        node1.left = node2;
        node1.right = node3;
        node2.left = node4;
        node2.right = node5;
        node3.left = node6;
        node3.right = node7;
        node5.right = node8;
    }

五、二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。

前序遍历

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。

public void perOrder(TreeNode root) {
        //先序遍历
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        perOrder(root.left);
        perOrder(root.right);
    }

中序遍历

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。

public void inOrder(TreeNode root) {
        //中序遍历
        if(root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

后序遍历

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

public void postOrder(TreeNode root) {
        //后序遍历
        if(root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

层序遍历

层序遍历就是一行一行遍历