一、灰色预测的概念

  1982年我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。

  白色系统是指一个系统的内部特征已知的，即系统的信息是完全充分的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。

  灰色系统则介于二者之间。

二、灰色关联度与优势分析

  选取参考数列：
$$X_0=X_0(k)|k=1,2,\cdots ,n=(X_0(1),X_0(2),\cdots ,X_0(n)),其中k表示时刻$$
  假设有m个比较数列：
$$X_i=X_i(k)|k=1,2,\cdots ,n=(X_i(1),X_i(2),\cdots ,X_i(n)),(i=1,2,\cdots ,m)$$
  则称：
$${\zeta }_i(k)=\frac{{\min }_i{\min }_k|X_0(k)-X_i(k)|+\rho {\max }_i{\max }_k|X_0(k)-X_i(k)|}{|X_0(k)-X_i(k)|+\rho {\max }_i{\max }_k|X_0(k)-X_i(k)|}$$
  为比较数列X_i对参考数列X₀在k时刻的关联系数。其中$\rho \in [0,+\infty )$为分辨系数，一般情况下$\rho \in [0,1]$

  关联系数$\zeta$在每一时刻都有一个，过于分散，不利于比较，为此我们给出：
$$r_i\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\zeta }_i(k)$$
  为比较数列X_i对参考数列X₀的关联度。

  然而关联系数公式中的$|X_0(k)-X_i(k)|$并不能去别处因素关联是正关联还是负关联，可采用以下方法解决该问题，记：
$${\sigma }_i=\sum _{k=1}^{n}k{X}_i(k)-\sum _{k=1}^n{X}_i(k)\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}{\sigma }_n=\sum _{k=1}^n{k}^2-\frac{(\sum _{k=1}^{n}k)2}{n}$$

  则当$sign(\frac{{\sigma }_i}{{\sigma }_n})=sign(\frac{{\sigma }_j}{{\sigma }_n})$，则X_i和X_j为正关联，否则为负关联。

  代码实现：

function [zeta, r] = func(x, x_0, rho)
	
	[m, ~] = size(x);

	if nargin < 3
		rho = 0.5;
	end
	
	if nargin < 2
		x_0 = max(x);
	end
	
	x_abs = abs(x_0 - x);
	mn = min(min(x_abs));
	mx = max(max(x_abs));
	
	zeta = (mn + rho * mx) ./ (abs(repmat(x_0, m, 1) - x) + rho * mx);
	r = mean(zeta, 2);
	
end

三、灰色生成数列

  累加生成：
$$\begin{gathered} 设原始数列：x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots ,x^{(0)}(n)) \\ {x}^{(0)}的一次累加数列:x^{(1)}(k)=\sum _{i=1}^k{x}^{(0)}(i),k=1,2,\cdots ,n, \\ {x}^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),\cdots ,x^{(1)}(n)) \\ {x}^{(0)}的r次累加数列：x^{(r)}(k)=\sum _{i=1}^k{x}^{(r-1)}(i),k=1,2,\cdots ,n,r\ge 1 \end{gathered}$$
  累减生成：
$$\begin{gathered} 设原始数列：x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),\cdots ,x^{(1)}(n)) \\ {x}^{(1)}的一次累减数列：x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1),k=2,3,\cdots ,n, \end{gathered}$$

function res = func(a, r)
	% a为原始数列
	% 若r为正数，则res为a的+r次累加数列
	% 若r为负数，则res为a的-r次累减数列

	if r == 0
		res = a;
		return
	end
	
	n = length(a);
	
	if r > 0
		a = func(a, r - 1);
		res = cumsum(a);
		return
	end
	
	if r < 0
		a = func(a, r + 1);
		res = a - [0, a(1 : length(a) - 1)];
		return
	end
	
end

  加权邻值生成
$$设原始数列：x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots ,x^{(0)}(n))$$
  称$x^{(0)}(k-1),x^{(0)}(k)$为原始数列的任意一对邻值。$x^{(0)}(k-1)$为后邻值，$x^{(0)}(k)$为前邻值。对于常数$\alpha \in [0,1]$，设有：
$$z^{(0)}(k)=\alpha x^{(0)}(k)+(1-\alpha )x^{(0)}(k-1),k=2,3,\cdots ,n,$$
  将数列$z^{(0)}$称为数列$x^{(0)}$在权$\alpha$下的邻值生成数，$\alpha$被称为生成系数。

  特别地，若$\alpha =0.5$，则称：
$$z^{(0)}(k)=0.5x^{(0)}(k)+0.5x^{(0)}(k-1),k=2,3,\cdots ,n,$$
  为均值生成数，也称等权邻值生成数。

function z = func(x, alpha)
	
	if nargin < 2
		alpha = 0.5;
	end
	
	a = alpha * x;
	b = [0, (1 - alpha) * x(1 : length(x) - 1)];
	z = a + b;
	
end

四、灰色模型GM(1, 1)

① 灰色预测的相关概念

  G代表grey(灰色)，M代表model(模型)

  设原始数列：
$$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots ,x^{(0)}(n)$$
  $x^{(0)}$的一次累加数列:
$$\begin{gathered} x^{(1)}(k)=\sum _{i=1}^k{x}^{(0)}(i),k=1,2,\cdots ,n, \\ {x}^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),\cdots ,x^{(1)}(n)) \end{gathered}$$
  定义$x^{(1)}$的灰导数为：
$$d(k)=x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1)$$
  令$z^{(1)}$为数列$x^{(1)}$的邻值生成数列，即：
$$z^{(1)}(k)=\alpha x^{(1)}(k)+(1-\alpha )x^{(1)}(k-1)$$
  于是定义GM(1, 1)的灰微分方程模型为：
$$\begin{gathered} d(k)+a{z}^{(1)}(k)=b \\ {x}^{(0)}(k)+a{z}^{(1)}(k)=b \end{gathered}$$
  其中$x^{(0)}(k)$称为灰导数，a称为发展系数，$z^{(1)}(k)$称为白化背景值，a称为灰作用量。

  取$k=2,3,\cdots ,n,$由灰微分方程可得：
$$\{\begin{array}{r}d(2)+a{z}^{(1)}(2)=b\\ d(3)+a{z}^{(1)}(3)=b\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ d(n)+a{z}^{(1)}(n)=b\end{array}$$
  引入矩阵：
$$u=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$$
$$Y=\left(\begin{array}{c}{x}^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3)\\ ⋮\\ x^{(0)}(n)\end{array}\right)$$
$$B=\left(\begin{array}{cc}-z^{(1)}& 1\\ -z^{(2)}& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z^{(n)}& 1\end{array}\right)$$
  于是GM(1, 1)模型可以表示为：
$$Y=Bu$$
$$\hat{u}=\left(\begin{array}{c}\hat{a}\\ \hat{b}\end{array}\right)=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}Y$$
  对于GM(1, 1)的灰微分方程，如果将$x^{(0)}(k)$的时刻k换成连续变量t，则对应的白微分方程即是：
$$\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}+a{x}^{(1)}(t)=b$$

② 灰色预测的步骤

第一步：级比检验

  设原始数列为：
$$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots ,x^{(0)}(n)$$
  计算数列的级比：
$$\lambda (k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}$$
  如果所有的级比都落在可覆盖区间$X=(e^{\frac{-2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+1}})$内，则原始数列$x^{(0)}$可以建立GM(1, 1)模型并进行灰色预测，否则需要对数据进行变化处理，如平移变化：
$$\begin{gathered} 取c使得数列： \\ {y}^{(0)}(k)=x^{(0)}+c,k=1,2,\cdots ,n, \\ \forall k\in Z_{+},y^{(0)}(k)\in (e^{\frac{-2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+1}}) \end{gathered}$$

第二步：建立GM(1, 1)模型

  原始数列为：
$$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots ,x^{(0)}(n)$$
  为它建立GM(1, 1)模型：
$$x^{(0)}(k)+a{z}^{(1)}(k)=b$$
  对应的白化模型是：
$$\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}+a{x}^{(1)}(t)=b$$
  该微分方程的解是：
$$x^{(1)}(t)=(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a})e^{-a(t-1)}+\frac{b}{a}$$
  于是便能得到预测值：
$$\begin{gathered} {\hat{x}}^{(1)}(k+1)=(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a},k=1,2,\cdots ,n-1 \\ {\hat{x}}^{(0)}(k+1)={\hat{x}}^{(1)}(k+1)-{\hat{x}}^{(1)}(k),k=1,2,\cdots ,n-1 \end{gathered}$$

function [u, f] = func(x, alpha)
	% x是原始数列
	% alpha是生成系数，默认为0.5
	% f是预测数列的一次生成数列的函数

	if nargin < 2
		alpha = 0.5;
	end
	
	x_1 = cumsum(x);
	z = alpha * x_1(2 : end) + (1 - alpha) * x_1(1 : end - 1);
	u = [-z; ones(1, length(x) - 1)]' \ x(2 : end)';
	f = @(k) (x(1) - u(2) /u(1)) * exp(-u(1) * k + u(1)) + u(2) / u(1);
	
end

第三步：检验预测值

  ① 残差检验：

  称：
$$\epsilon (k)=\frac{x^{(0)}(k)-{\hat{x}}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)},k=1,2,\cdots ,n$$
  为相对残差

  如果$对\forall k=1,2,\cdots ,n,|\epsilon (k)<0.1|$，则认为达到较高的要求。否则，若$对\forall k=1,2,\cdots ,n,|\epsilon (k)<0.2|$，则认为达到一般要求。

  ② 级比偏差值检验

  计算：
$$\rho (k)=1-\frac{1-0.5a}{1+0.5a}\lambda (k)$$

  如果$对\forall k=2,3,\cdots ,n,|\rho (k)<0.1|$，则认为达到较高的要求。否则，若$对\forall k=2,3,\cdots ,n,|\rho (k)<0.2|$，则认为达到一般要求。