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概率密度分布(distribution)的均值(期望)(mean)和中值中位数(median)

音程 2023-04-09 原文

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前言

一开始看到the median of this distribution的时候,人是懵逼的,我这么孤陋寡闻吗?分布竟然还有中值?不是只有期望吗?

中值

那么中值到底是什么呢?我们知道一个概率密度函数的积分是1,因此我们可以找到一条竖线,将其分为两部分,左边面积为1/2,右边面积为1/2。这条线所对应的横坐标就是这个分布的中值,如下图所示(横坐标标识随机变量x的取值范围,纵坐标表示概率密度):

上面这一条线将面积一分为2,该竖线对应的横坐标就是该分布的中值!!

现实含义:有一半的概率会落在竖线左边,另一半的概率落在右边,所以叫做中值。。。。。

中值计算

所以,给你一个分布,你知道怎么计算这个分布的中值了吧!!即假设中值为M,求解下面这个方程。

不要怕这个方程啊!!有些概率密度函数积分是有解析解的,那么上述就很简单啦。又如果题目直接告诉了你累积分布函数,那么就更好了!因为上面这个式子左边其实是累积分布函数 F ( x ) F(x) F(x) M M M处的值,即 F ( M ) F(M) F(M)。所以直接将 M M M带入解方程即可,不需要求积分。

总之要充分利用性质去求解这个 M M M,再比如,累积分布函数是不减函数,有的时候可以用二分法这种数值方法来找到 M M M

和期望的不同

上面那个图大家应该可以看出来,对于正态分布,中值等于期望。但是对于其他概率密度函数,就不一定了。

期望有些分布是没有的,但是中值绝对存在,而且有很多时候还不止一个。所以对于某些应用中值的稳定性更好。

小作业:你去算一算指数分布的中值和期望,看一下相不相等。


完结撒花

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