作者🕵️‍♂️：让机器理解语言か

专栏🎇：蓝桥杯倒计时冲刺

描述🎨：蓝桥杯冲刺阶段，一定要沉住气，一步一个脚印，胜利就在前方！

寄语💓：🐾没有白走的路，每一步都算数！🐾

题目一：数的计算 

题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数 n):

先输入一个自然数 n (n≤1000),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

1. 不作任何处理;

2. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过该数最高位的一半;

3. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止。

输入描述

输入一个正整数 n。

输出描述

输出一个整数，表示具有该性质数的个数。。

输入输出样例

输入

6

输出

6

样例分析 

例: n=6，合法的数字有: 6(不做任何处理) 、16、26、36、126、136 

解题思路

 按照题目意思，我们可以直接枚举左边加的数。

递归

定义递归函数 f(n) 表示输入数为 n 时满足题目条件的数的个数。

我们可以从最简单的情况开始考虑。当 n=1 时，1的一半向下取整为0，没办法构造，直接返回。

如果 n>1，那么我们需要枚举左边加的数。因为最左边的数不能为 0，所以左边加上的数的取值范围是 [1,⌊n/2⌋]。

 对于每一个加数 i，得到的新数是 n+i，我们需要递归调用 f(n+i)，计算得到新数下满足条件的数的个数。

在递归调用结束后，我们需要将所有加数得到的满足条件的数的个数相加，得到最终的结果。

最后，输出 f(n) 即可。

递推 

 AC_code（递归）

def f(n):
   global res
   if n == 1:        # 1的一半向下取整为0，没办法构造，直接返回
       return
   for i in range(1, n//2+1):  # 枚举左边加的数，其中n//2：向下取整
       res += 1
       f(i)   # 递归

n = int(input())
res = 1
f(n)
print(res)

  AC_code（递推）

n = int( input( ))
f = [0 for i in range(n+1)]
for i in range( 1, n + 1):        # 从f[1]开始算
    for j in range(1, i//2 + 1):  # 累加
        f[i]= f[i] + f[j]         # 递推式
    f[i] += 1                     # 自己本身
print(f[n])

题目二：数的划分 

题目描述

将整数 n 分成 k 份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5;1，5，1;5，1，1;

问有多少种不同的分法。

输入描述

输入一行，2 个整数 n,k (6≤n≤200，2≤k≤6)。

输出描述

输出一个整数，即不同的分法。

输入输出样例

输入

7 3

输出

4

 解题思路

定义递归函数 f(n,m) 为将整数 n 拆分成 m 个数字的方案数。

对于每个情况，我们可以将它分成两种情况，且这两种情况是不重不漏的。

• 不选 1 的情况：

如果不选择 1，我们将 n 拆分成 m 块，可以等价于将每一块都减去 1，然后再将剩下的数拆分成 m 块，即 f(n−m,m)。

• 选 1 的情况：

这种情况下，其中一块肯定有一个 1，然后对 n−1 拆分成 m−1 块，即 f(n−1,m−1)。

此时，f(n,m) 的值就是这两种情况之和，即f(n,m)=f(n−m,m)+f(n−1,m−1)

需要注意的是，当 n<m 时，无法分成 m 个数，因此 f(n,m) = 0

另外，当 m=1 时，只能将 n 拆分成一个数，因此 f(n,1) = 1；当n=m时，只能是每块1个，所以f(i, i)=1

最终的答案为 f(n,k) 。

AC_code 

由于 python递归的速度极慢，因此我们可以使用动态规划的思想，将递归改为递推，代码如下： 

n, k = map(int, input().split())

# 初始化一个二维数组，用于存储 f(n, m)
dp = [[0 for j in range(210)] for i in range(210)]
for i in range(1, n+1):
   dp[i][1] = 1
   dp[i][i] = 1

for i in range(3, n+1):
   for j in range(2, k+1):
       if i > j:        # 只有n大于m才能分出多种情况
           dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i-1][j-1]

print(dp[n][k])

题目三：耐摔指数 

题目描述

X 星球的居民脾气不太好，但好在他们生气的时候唯一的异常举动是：摔手机。

各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。X 星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试，并且评定出一个耐摔指数来，之后才允许上市流通。

X 星球有很多高耸入云的高塔，刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的，与地球上稍有不同的是，他们的第一层不是地面，而是相当于我们的 2 楼。

如果手机从第 7 层扔下去没摔坏，但第 8 层摔坏了，则手机耐摔指数 = 7。

特别地，如果手机从第 1 层扔下去就坏了，则耐摔指数 = 0。

如果到了塔的最高层第 n 层扔没摔坏，则耐摔指数 = n。

为了减少测试次数，从每个厂家抽样 3 部手机参加测试。

如果已知了测试塔的高度，并且采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢？

输入描述

一个整数 n（3<n<10000）,表示测试塔的高度。

输出描述

输出一个整数，表示最多测试多少次。

输入输出样例

输入

3

输出

2

样例解释

手机 a 从 2 楼扔下去，坏了，就把 b 手机从 1 楼扔；否则 a 手机继续 3 层扔下。

 解题思路

        设 bi​ 表示需要 i 个球时最少要有多少层楼，ci​ 表示最少需要多少个球才能测出 i 层楼，初始化 b1​=c1​=1，由于球的数量不会超过 100100，故开数组 b 和 c 大小均为 105105。

        当需要测的楼层数为 n 时，从 11 开始枚举，如果 ci​ 大于等于 n，那么 i 即为需要的最少球的数量，输出后退出。

        当 ci​ 小于 n 时，需要再增加一个球，求出测 i+1 层楼所需的最小楼层数 bi+1​ 和测 i+1 层楼所需的最少球数 ci+1​，由于测第 i+1 层楼时，要么球碎了，要么没碎，因此：

• 如果球碎了，需要在楼下测 bi​ 层楼，此时用剩下的 i−1 个球去测楼下的这 bi​ 层楼，共需要 i 个球，即 ci+1​=ci​+i。
• 如果球没碎，需要在上面测剩下的 i 个球，即去测 i−1 层楼，此时共需测 i+1 层楼，需要在楼上再增加一层楼，因此用剩下的 i−1 个球去测这 i 层楼，共需要 bi​ 层楼，即 ci+1​=ci​+bi​+1。

因此得到递推公式：bi+1​=bi​+i+1；ci+1​=ci​+bi​+1

 AC_code

b = [0] * 105
c = [0] * 105
n = int(input())
i = 0
while c[i] < n:
   i += 1
   b[i] = i + b[i - 1]
   c[i] = c[i - 1] + b[i - 1] + 1
print(i)