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1.最大连续子段和

2.LCS 最大公共子序列

3.LIS 最长上升子序列

4.数塔

5.最大子矩阵和

6.背包问题

①01背包问题

②完全背包

---

1.最大连续子段和

这段代码是一个求最大子数组和的算法，使用的是动态规划的思想。下面是代码的解释：

首先定义了一个整数数组arr，用于存储给定的一组数。然后定义了一个整数数组dp，用于存储以arr中每个元素为结尾的最大子数组和。接着将dp的第一个元素设置为0和arr的第一个元素的最大值。然后从第二个元素开始循环遍历数组dp，将当前元素的dp设置为 ：前一个元素的dp 和 当前元素的arr之和 与 当前元素的arr  比较最大值。最后按升序对数组dp进行排序，最大子数组和即为dp的最后一个元素。

public class A {
public static void main(String[] args) {
    int arr[]= {-2,11,-4,13,-5,-2}; //定义一个数组arr
    int dp[]=new int[arr.length]; //定义一个数组dp，长度与arr相同
    System.out.println("arr:"+Arrays.toString(arr)); //输出arr数组
    System.out.println("-----------流程-----------"); //输出分割线
    dp[0]=Math.max(0, arr[0]); //dp[0]为arr[0]和0的最大值
    System.out.println("dp:"+Arrays.toString(dp)); //输出dp数组
    for (int i = 1; i < dp.length; i++) { //循环dp数组
        dp[i]=Math.max(dp[i-1]+arr[i], arr[i]); //dp[i]为dp[i-1]+arr[i]和arr[i]的最大值
        System.out.println("dp[i-1]+arr[i]:"+(dp[i-1]+arr[i])+"\narr[i]:"+arr[i]); //输出dp[i-1]+arr[i]和arr[i]
        System.out.println("dp:"+Arrays.toString(dp)); //输出dp数组
    }
    Arrays.sort(dp); //对dp数组进行排序
    System.out.println("-----------流程-----------"); //输出分割线
    System.out.println("最大字段和："+dp[dp.length-1]); //输出dp数组中的最大值
}

arr:[-2, 11, -4, 13, -5, -2]
-----------流程-----------
dp:[0, 0, 0, 0, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:11
arr[i]:11
dp:[0, 11, 0, 0, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:7
arr[i]:-4
dp:[0, 11, 7, 0, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:20
arr[i]:13
dp:[0, 11, 7, 20, 0, 0]
dp[i-1]+arr[i]:15
arr[i]:-5
dp:[0, 11, 7, 20, 15, 0]
dp[i-1]+arr[i]:13
arr[i]:-2
dp:[0, 11, 7, 20, 15, 13]
-----------流程-----------
最大字段和：20

分治法：

最大字段和（分治法，递归，Java）

2.LCS 最大公共子序列

例如：

S1={1，5，2，8，9，3，6}，S2={5，6，8，9，3，7}，其最大公共子序列为{5，8，9，3}。

为了找到两个字符串之间的最大公共子序列，我们可以使用动态规划。基本思想是创建一个矩阵，其中每个单元格表示到该点的最大公共子序列的长度。

我们从将矩阵的第一行和第一列初始化为0开始。然后，对于每个后续单元格，我们检查两个字符串中相应位置的字符是否匹配。如果匹配，则将当前单元格的左上角对角线上的值加1。如果不匹配，则取当前单元格上方和左侧单元格之间的最大值。

填充整个矩阵后，最长公共子序列的长度可以在右下角单元格中找到。

public class A {
public static void main(String[] args) {
	String s1="BDCABA";
	String s2="ABCBDAB";
	int dp[][]=new int[s1.length()+1][s2.length()+1];

	for (int i = 0; i < s1.length(); i++) {
		for (int j = 0; j < s2.length(); j++) {
			if(s1.charAt(i)==s2.charAt(j)) dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
			else dp[i+1][j+1]=Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j+1]);
		}
		
	}

	for (int[] is : dp) {

		
		for (int i : is) {
			
			System.out.print(i+" ");
		}
		System.out.println();
	}
	
	System.out.println("最大公共子序列:"+dp[s1.length()][s2.length()]);
	
 }
}

0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 1 1 1 1 1 1 
0 0 1 1 1 2 2 2 
0 0 1 2 2 2 2 2 
0 1 1 2 2 2 3 3 
0 1 2 2 3 3 3 4 
0 1 2 2 3 3 4 4 
最大公共子序列:4

3.LIS 最长上升子序列

动态规划解决方案的基本思想是使用一个数组 dp 来跟踪输入数组中每个索引处的最长上升子序列的长度。我们将dp初始化为所有 1，因为任何索引处的最长上升子序列长度至少为 1（元素本身）。然后，我们遍历输入数组，并对于每个元素，我们遍历所有先前的元素并检查它们是否小于当前元素。如果是，我们将当前索引处的 dp更新为其当前值和前一个索引处的值加 1 的最大值。这意味着我们已经找到了以当前索引结尾的更长的上升子序列。最后，我们输出 dp 中的最大值，它表示输入数组中最长上升子序列的长度。

public class A {
public static void main(String[] args) {
	Scanner scanner=new Scanner(System.in);
	
	int n=scanner.nextInt(); //输入数组长度
	int arr[]=new int[n]; //定义数组
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		arr[i]=scanner.nextInt(); //输入数组元素
	}
	
	

	
	int dp[]=new int[arr.length]; //定义dp数组
	Arrays.fill(dp, 1); //初始化dp数组
	int j=0;
	for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
		j=i-1;
	
		
	while (j>=0) {	
		if(arr[i]>arr[j]) { //如果当前元素大于前面的元素
			dp[i]=Math.max(dp[i], dp[j]+1); //更新dp数组
		}
		j--;
	}
	
	
}
    System.out.println(Arrays.toString(dp)); //输出dp数组
    Arrays.sort(dp); //对dp数组进行排序
    System.out.println(dp[dp.length-1]); //输出dp数组中的最大值
}
}

输入：

7
1 5 2 3 11 7 9

输出：

[1, 2, 2, 3, 4, 4, 5]
5

4.数塔

【动态规划】——数塔（java版，超详图解）

5.最大子矩阵和

知识点：前缀和+动态规划【最大字段和】

【蓝桥杯-筑基篇】前缀和

了解决这个问题，我们首先读入一个n x n的矩阵，并计算每列的前缀和。然后，对于每对起始和结束列，我们计算它们之间的子矩阵和。

接下来，我们使用动态规划来找到每列的最大子段和，并相应地更新最大子矩阵和。最后，我们输出最大子矩阵和。

 

//读入一个n*n的矩阵
//计算每一列的前缀和
//对于每一列的起始和结束位置，计算出这两列之间的子矩阵和
//用dpi表示以第i列为结尾的最大子段和
//对于每一列，计算以该列为结尾的最大子段和，并更新ans
//输出最大子矩阵和

public class B {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int n=scanner.nextInt();
		int[][] g=new int[n+1][n+1];
		for (int i = 1; i < g.length; i++) {
			for (int j = 1; j < g.length; j++) {
				g[i][j]=scanner.nextInt();
				g[i][j]=g[i][j]+g[i-1][j]; // 计算每一列的前缀和
			}
		}
		
		for (int[] is : g) {
			//输出前缀和数组
			System.out.println(Arrays.toString(is));
		}
		int ans=Integer.MIN_VALUE;
		
			for (int start = 1; start < g.length; start++) {
				
				for (int end = 1; end < g.length; end++) {
					int dpi=0;
					for (int col = 1; col < g.length; col++) {
						
						int ai=g[end][col]-g[start-1][col]; // 计算出这两列之间的子矩阵和
						dpi=Math.max(dpi+ai, ai); // 计算以该列为结尾的最大子段和
						ans=Math.max(ans, dpi); // 更新ans
					}
					
					
				}
			
			}
			System.out.println("--最大子矩阵和--:"+ans); // 输出最大子矩阵和
		
		
	}

}

4
0 -2  -7  0 
9  2  -6  2 
-4  1  -4  1
-1  8  0  -2 
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, -2, -7, 0]
[0, 9, 0, -13, 2]
[0, 5, 1, -17, 3]
[0, 4, 9, -17, 1]
--最大子矩阵和--:15

6.背包问题

①01背包问题

解题思路：使用动态规划算法解决01背包问题，首先输入物品数量和背包容量，然后输入每个物品的重量和价值，接着使用二重循环遍历物品和背包容量，如果当前背包容量大于等于当前物品重量，则可以选择将该物品放入背包，此时背包的价值为dp[i-1][j-wt[i]]+val[i]，否则背包的价值为dp[i-1][j]，最后输出动态规划数组即可

/**
 * 01背包问题
 * wt: 物品重量
 * val: 物品价值
 * dp: 动态规划数组
 */
public class C {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int n=scanner.nextInt(); // 物品数量
		int m =scanner.nextInt(); // 背包容量
		int wt[]=new int[n+1]; // 物品重量数组
		int val[]=new int[n+1]; // 物品价值数组
		int dp[][]=new int[n+1][m+1]; // 动态规划数组
		for (int i = 1; i < wt.length; i++) {
			wt[i]=scanner.nextInt(); // 输入物品重量
			val[i]=scanner.nextInt(); // 输入物品价值
		}
		
		for (int i = 1; i < wt.length; i++) {
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				if(j-wt[i]>=0) {
					dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wt[i]]+val[i]); // 动态规划
				}
				
				else dp[i][j]=dp[i-1][j]; // 动态规划
			}
		}
		for (int[] is : dp) {
			System.out.println(Arrays.toString(is)); // 输出动态规划数组
		}

		
	}

}

②完全背包

// 本题为完全背包问题，采用动态规划求解。时间复杂度为O(nW)，空间复杂度为O(nW)。
public class C {
	public static void main(String[] args) {
		int[] weights = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量
		int[] values = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值
		int capacity = 8; // 背包容量
		int result = completeKnapsack(capacity,weights, values); // 调用函数
		System.out.println("Maximum value: " + result); // 输出结果
		}
	
	public static int completeKnapsack(int W, int[] w, int[] v) {
	    int n = w.length; // 物品数量
	    int[][] dp = new int[n+1][W+1]; // 初始化动态规划数组
	    for (int i = 0; i <= n; i++) {
	        dp[i][0] = 0; // 初始化
	    }
	    for (int j = 0; j <= W; j++) {
	        dp[0][j] = 0; // 初始化
	    }
	    for (int i = 1; i <= n; i++) {
	        for (int j = 1; j <= W; j++) {
	        	
	        	for(int k=0;k<=(j/w[i-1]);k++) {
	        		
	        		dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*w[i-1]]+k*v[i-1]); // 状态转移方程
	        	}
	            
	        }
	    }
	    return dp[n][W]; // 返回最大价值
	}


}