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汽车控制理论数学基础——状态方程

静候佳茵 2023-03-28 原文

1. 利用状态方程求传递函数公式


状态方程为\(G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B+D\)

例1：\(m-c-k\)系统，求\(m\overset{··}{x}+c\overset{·}{x}+kx=f\)传递函数。
解：
令\(x_1 = x\)，\(x_2=\overset{·}{x}\)则有：

\[\begin{cases} \overset{·}{x_1}=x_2\\ \overset{·}{x_2}=\dfrac{1}{m}[-c x_2-k x_1]+\dfrac{f}{m} \end{cases}\]

根据状态方程的向量表达式和输出方程的向量表达式

\[\begin{cases} \overset{·}{X} = AX+Bf \\ Y = CX+Df \end{cases}\]

可以得到：

\[A=\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ -\dfrac{k}{m}& -\dfrac{c}{m} \end{matrix}\right]\qquad B = \left[\begin{matrix} 0\\ \dfrac{1}{m} \end{matrix}\right]\qquad C=\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\qquad D = 0 \qquad X = \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right] \]

所以

\[(sI-A)^{-1} = \left[\begin{matrix} s&-1\\ \dfrac{k}{m}&s+\dfrac{c}{m} \end{matrix}\right]^{-1}=\dfrac{1}{\left|\begin{matrix} s&-1\\ \dfrac{k}{m}&s+\dfrac{c}{m} \end{matrix}\right|}\left[\begin{matrix} s+\dfrac{c}{m}&1\\ -\dfrac{k}{m}&s \end{matrix}\right] \]

可以得到

\[G(s)=\dfrac{1}{s^2+\dfrac{c}{m}s+\dfrac{k}{m}}\left[\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} s+\dfrac{c}{m}&1\\ -\dfrac{k}{m}&s \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 0\\ \dfrac{1}{m} \end{matrix}\right]=\dfrac{1}{ms^2+cs+k} \]

2. 反馈控制

2.1 状态反馈控制器设计

控制律为\(u = -KX + v\)
将控制律带入状态方程可以得到，闭环系统\(\begin{cases} \overset{·}{X}=(A-BK)X+Bv\\ Y = CX \end{cases}\)
传递函数为\(G_K(s)=C(sI-A+BK)^{-1}B\)

例2：\(\overset{··}{x}=\overset{·}{x}+x+u\)，如何设计\(u\)，使得\(x \rarr x_d\quad(t\rarr\infty)\)，\(x_d\)为常数。

解：
输入是\(u\)，特征方程为\(s^2-s-1=0\)

可以看出该系统开环不稳定，因为有一个根在右半平面，可以设计\(u=-2\overset{·}{x}-2x+x_d\)

代入上述系统，可得\(\overset{··}{x}+\overset{·}{x}+x=x_d\)

对于此时的闭环系统，输入是\(x_d\)，特征方程为\(s^2+s+1=0\)，该方程两根为负，闭环稳定。

如果利用状态方程的方法，那么可以令\(x_1 = x\)，\(x_2=\overset{·}{x}\)，可以得到

\[\begin{cases} \overset{·}{x_1}=x_2\\ \overset{·}{x_2}=x_1+x_2+u \end{cases}\]

那么可以得到：

\[A=\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ 1&1 \end{matrix}\right]\qquad B = \left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right]\qquad C=\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\qquad D = 0 \qquad X = \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right] \]

控制律为\(u = -KX + x_d\)，其中\(K=[k_1, k_2]\)，那么

\[\begin{aligned} (sI-A+BK)^{-1} &= \left( \left[ \begin{matrix} s&0\\ 0&s \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ 1&1 \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right][k_1, k_2]\right)^{-1}\\ &=\left[ \begin{matrix} s&-1\\ -1+k_1&s-1+k_2 \end{matrix}\right]^{-1}\\ &=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1}\left[\begin{matrix} s-1+k_2&1\\ 1-k_1&s \end{matrix}\right] \end{aligned} \]

传递函数为

\[\begin{aligned} G_k(s)&=C(sI-A+BK)^{-1}B\\ &=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1}\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} s-1+k_2&1\\ 1-k_1&s \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right]\\ &=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1} \end{aligned} \]

如果令\(k_1=k_2=2\)，那么得到的特征方程为\(s^2+s+1=0\)，与上面开始做的一样。

下图为状态反馈系统结构图

2.2 输出反馈控制器设计

控制律为\(u = -HY + v\)
将控制律带入状态方程可以得到，闭环系统\(\begin{cases} \overset{·}{X}=(A-BHC)X+Bv\\ Y = CX \end{cases}\)
传递函数为\(G_H(s)=C(sI-A+BHC)^{-1}B\)

输出反馈可看作状态反馈的特例，比如当y=x时，C=1。

下面是输出反馈系统结构图

该控制器就是PID控制器的设计原理。

3. 反馈线性化

例3：\(\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u\)，如何设计\(u\)，使得\(x\rarr x_d\quad(t\rarr \infty)\)，其中\(x_d\)为常数。

设计 \(u=-\overset{·}{x}\ ^2-x+v\)

代入系统 \(\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u\)

可以去掉非线性项，得到\(\overset{··}{x}=v\)

上面的方程已经完成线性化，但是开环不稳定。利用反馈控制的方法，设计：\(v=-\overset{·}{x}-x+x_d\)

得到闭环稳定的系统：\(\overset{··}{x}+\overset{·}{x}+x=x_d\)

我们可以写出闭环系统的跟踪误差方程。令\(\epsilon=x-x_d\)，则系统可以转化为

\[\overset{··}{\epsilon}+\overset{·}{\epsilon}+\epsilon=0 \]

该方程有两个复根，可以描述成\(s_{1,2}=\alpha\plusmn\beta i\)的形式，其中\(\alpha<0\)

解可以表示为：\(\epsilon_{1,2}=e^{\alpha t}(c_1cos\beta t\plusmn c_2isin\beta t)\)

可以得出分析出\(\epsilon_{1,2}\rarr0\)，说明该系统稳定。

反馈线性化方法归纳：输入-状态线性化和输入-输出线性化：

  • 对于前者，本例中可以令\(z=z(x)=\overset{·}{x}\quad \overset{··}{x}=v\)，则可以解得\(u=u(x, v)=-\overset{·}{x}\ ^2-x+v\)，此时的线性系统就是\(\overset{··}{x}=v\)
  • 对于后者，本例中可以令\(y=h(x)=x\)，故\(\overset{··}{y}=g(x,u)=\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u\)，这样就得到了输出\(y\)与输入\(u\)的关系，令\(\overset{··}{y}=v\)，同样得到\(u=-\overset{·}{x}\ ^2-x+v\)。

可以看出，本例两种方法解的过程是一致的。

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