给定一个大小为 N 的整数数组，您如何有效地找到大小为 K 且元素彼此最接近的子集？
将子集 (x1,x2,x3,..xk) 的接近度定义为:
2 <= N <= 10^5
2 <= K <= N
约束:数组可能包含重复项，不保证排序。
我的强力解决方案对于大 N 非常慢，并且它不检查是否有超过 1 个解决方案:
N = input()
K = input()
assert 2 <= N <= 10**5
assert 2 <= K <= N
a = []
for i in xrange(0, N):
a.append(input())
a.sort()
minimum = sys.maxint
startindex = 0
for i in xrange(0,N-K+1):
last = i + K
tmp = 0
for j in xrange(i, last):
for l in xrange(j+1, last):
tmp += abs(a[j]-a[l])
if(tmp > minimum):
break
if(tmp < minimum):
minimum = tmp
startindex = i #end index = startindex + K?
示例:
N = 7
K = 3
array = [10,100,300,200,1000,20,30]
result = [10,20,30]
N = 10
K = 4
array = [1,2,3,4,10,20,30,40,100,200]
result = [1,2,3,4]
最佳答案
您当前的解决方案是 O(NK^2)(假设 K > log N)。通过一些分析，我相信您可以将其减少到 O(NK)。
最近的大小为 K 的集合将由排序列表中相邻的元素组成。您基本上必须先对数组进行排序，因此后续分析将假定每个 K 数字序列都已排序，这可以简化双和。
假设数组的排序使得 x[j] >= x[i] 当 j > i 时，我们可以重写你的接近度度量以消除绝对值值:
接下来我们将您的符号重写为具有简单边界的双重求和:
请注意，我们可以将 x[i] 和 x[j] 之间的内部距离重写为第三个求和:
在我使用 d[l] 来简化符号的地方:
请注意，d[l] 是列表中每个相邻元素之间的距离。查看固定i的内部两个求和的结构:
j=i+1 d[i]
j=i+2 d[i] + d[i+1]
j=i+3 d[i] + d[i+1] + d[i+2]
...
j=K=i+(K-i) d[i] + d[i+1] + d[i+2] + ... + d[K-1]
注意内部两个求和的三角形结构。这允许我们根据相邻项的距离将内部两个求和重写为单个求和:
total: (K-i)*d[i] + (K-i-1)*d[i+1] + ... + 2*d[K-2] + 1*d[K-1]
将总和减少到:
现在我们可以看看这个双重求和的结构:
i=1 (K-1)*d[1] + (K-2)*d[2] + (K-3)*d[3] + ... + 2*d[K-2] + d[K-1]
i=2 (K-2)*d[2] + (K-3)*d[3] + ... + 2*d[K-2] + d[K-1]
i=3 (K-3)*d[3] + ... + 2*d[K-2] + d[K-1]
...
i=K-2 2*d[K-2] + d[K-1]
i=K-1 d[K-1]
再次注意三角形图案。总和变为:
1*(K-1)*d[1] + 2*(K-2)*d[2] + 3*(K-3)*d[3] + ... + (K-2)*2*d[K-2]
+ (K-1)*1*d[K-1]
或者，写成单个求和:
相邻差异的这种紧凑的单一求和是更高效算法的基础:
O(N log N)O(N)N-K 差值序列并计算上述总和，顺序 O(NK)请注意，第二步和第三步可以结合使用，但使用 Python 的过程可能会有所不同。
代码:
def closeness(diff,K):
acc = 0.0
for (i,v) in enumerate(diff):
acc += (i+1)*(K-(i+1))*v
return acc
def closest(a,K):
a.sort()
N = len(a)
diff = [ a[i+1] - a[i] for i in xrange(N-1) ]
min_ind = 0
min_val = closeness(diff[0:K-1],K)
for ind in xrange(1,N-K+1):
cl = closeness(diff[ind:ind+K-1],K)
if cl < min_val:
min_ind = ind
min_val = cl
return a[min_ind:min_ind+K]
关于python - 查找具有彼此最接近的 K 个元素的子集，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/19482332/
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