我们知道，一个int型整数一般用32位二进制数存储，所表示的最大整数值为 2³¹-1，对应1个10位的十进制整数。因此，一个更大的整数可能需要更多的二进制位来存储，在处理时需要对其进行高精度运算处理。

【例1】二进制加法

问题描述

二进制数相加与十进制数的长加非常相似。与十进制数字一样，从右到左，一次一列地进行各位对应数字的相加。与十进制加法不同，二进制位加法的进位规则是“逢二进一”。

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

1 + 1 + 1 = 11

输入

第一行输入是整数N（1≤ N≤ 1000），表示测试用例的组数。之后N行，每行是一组测试用例，其中包含两个由单个空格字符分隔的二进制值。每个二进制值的最大长度为80位（二进制数字）。注：最大长度结果可能是81位（二进制数字）。

输出

对于每组测试用例，在一行中输出测试用例编号、空格和加法的二进制结果。必须省略额外的前导零。

输入样例

3

1001101 10010

1001001 11001

1000111 1010110

输出样例 

1 1011111

2 1100010

3 10011101

       （1）编程思路。

       将二进制数用字符串保存，编写函数void binAdd(char *a,char *b,char *c)，完成二进制数C=A+B这一功能。在函数中，先将字符串表示的二进制数A和B分别转换到整型数组X和Y中，转换时注意二进制字符串的最低位（如a[0]）对应到数组X的最高位（如x[strlen(a)-1]），二进制字符串的最高位（如a[strlen(a)-1]）对应到数组X的最低位（如x[0]）。然后将数组X和Y从下标0开始（也是二进制数的个位），逐位对应相加，逢二进一。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
void binAdd(char *a,char *b,char *c)
{
    int len1=strlen(a),len2=strlen(b);
    int x[91],y[91],z[91];
    int len=len1>len2?len1:len2;
    memset(x,0,sizeof(x));
    memset(y,0,sizeof(y));
    memset(z,0,sizeof(z));
    int i;
    for (i=len1-1;i>=0;i--)
        x[len1-1-i]=a[i]-'0';
    for (i=len2-1;i>=0;i--)
        y[len2-1-i]=b[i]-'0';
    int cf=0;
    for (i=0;i<len;i++)
    {
        z[i]=(x[i]+y[i]+cf)%2;
        cf=(x[i]+y[i]+cf)/2;
    }
    z[len++]=cf;
    while (len>=0 && z[len-1]==0)  // 去前置0
        len--;
    if (len==0)                    // a+b=0时特判
    {
        c[0]='0';
        c[1]='\0';
        return ;
    }
    for (i=0;i<len;i++)
        c[i]=z[len-1-i]+'0';
    c[len]='\0';
}
int main()
{
    char s1[91],s2[91],ans[91];
    int n,i;
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s%s",s1,s2);
        binAdd(s1,s2,ans);
        printf("%d %s\n",i,ans);
    }
    return 0;
}

       将上面的源程序提交给 北大POJ题库 POJ 2845  01000001（http://poj.org/problem?id=2845），可以Accepted。

【例2】最大公约数

问题描述

 给出两个二进制数A和B，求它们的最大公约数。

输入

输入的第一行是T（1≤ T≤ 100），代表需要解决的测试用例数。

之后T行，每行包含两个二进制数A和B。（0< A，B ≤ 2¹⁰⁰⁰)

输出

对于每个测试用例，输出A和B的最大公约数，这个最大公约数也以二进制数显示。

输入样例

3

10 100

100 110

10010 1100

输出样例 

Case #1: 10

Case #2: 10

Case #3: 110

        （1）编程思路。

         设gcd(a,b) 表示求两个二进制数的最大公约数。有

         （1）若a，b都为偶数， 则 gcd(a,b) = 2*gcd(a/2,b/2)。

         （2）若 a为偶数，b为奇数，则 gcd(a,b) = gcd(a/2,b)。

         （3）若 a,b 都为奇数（设a大于等于b），则 gcd(a,b) = gcd((a-b),b)。

         按照这种思路直接求两个二进制数的最大公约数就比较简单了。主要涉及二进制的相减运算（a-b），相减时总是大数减小数（即a>b）；二进制数除以2，这个操作比较简单，直接去掉个位数即可，也就是删除bit数组中的bit[0]元素，同时len减1。

       定义结构体类型

       struct BigNumber

       {

           int len;        //  保存二进制数的位数

           int bit[1005];  //  保存各位的数字，每个数组元素保存二进制数的1位数，其中bit[0]保存二进制数的个位数。

       };  的变量来保存二进制数。

       同时定义4个函数，分别实现两个二进制数的大小比较、两个二进制数相减、一个二进制数除以2、求两个二进制数的最大公约数等功能。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct BigNumber
{
   int len;
   int bit[1005];
};
int compare(struct BigNumber n1,struct BigNumber n2)     // 比较两个大数的大小，n1小于n2则返回1
{
    if (n1.len<n2.len)  return 1;
    if (n1.len>n2.len)  return 0;
    int i;
    for (i=n1.len-1;i>=0;i--)
    {
       if (n1.bit[i]<n2.bit[i])  return 1;
       if (n1.bit[i]>n2.bit[i])  return 0;
    }
    return 0;
}
struct BigNumber minus(struct BigNumber n1,struct BigNumber n2)  // 大数n1 - n2
{
    struct BigNumber ret;
    int i;
    ret=n1;
    for (i=0;i<n2.len;i++)
    {
        ret.bit[i]=ret.bit[i]-n2.bit[i];
        if (ret.bit[i]<0)
        {
            ret.bit[i+1]--;                       // 向前一位借1当2
            ret.bit[i]+=2;
        }
    }
    for (;i<ret.len;i++)                          // 处理n1比n2多出的高位
    {
       if (ret.bit[i]>=0)                         // 向更高位不再有借位
            break;
       else
       {
            ret.bit[i+1]--;                       // 向前一位借1当2
            ret.bit[i]+=2;
       }
    }
    while (ret.len>=1 && !ret.bit[ret.len-1])     // 去掉前导0
       ret.len--;
    return ret;
}
struct BigNumber div2(struct BigNumber n)         // 大数n除以2
{
    struct BigNumber ret;
    ret.len=n.len-1;
    int i;
    for (i=0;i<ret.len;i++)                       // 去掉最末位的0即可
       ret.bit[i]=n.bit[i+1];
    return ret;
}
void gcd(struct BigNumber n1,struct BigNumber n2) // 求n1和n2的最大公约数并输出
{
    int b=0,i;
    while (n1.len && n2.len)
    {
       if (n1.bit[0])
       {
          if(n2.bit[0])     // n1、n2均为奇数，gcd(n1,n2)=gcd((n2-n1),n1) （设n2大于等于n1）
          {
             if (compare(n1,n2))
                n2=minus(n2,n1);
             else
                n1=minus(n1,n2);
          }
          else              // n2为偶数，n1为奇数。gcd(n1,n2)=gcd(n1,n2/2)
             n2=div2(n2);
       }
       else
       {
          if(n2.bit[0])     // n1为偶数，n2为奇数。gcd(n1,n2)=gcd(n1/2,n2)
             n1=div2(n1);
          else              // n1、n2都为偶数。gcd(n1,n2)=2*gcd(n1/2,n2/2)
          {
             n1=div2(n1);
             n2=div2(n2);
             b++;
          }
       }
    }
    if (n2.len)
       for (i=n2.len-1;i>=0;i--)
           printf("%d",n2.bit[i]);
    else
       for (i=n1.len-1;i>=0;i--)
           printf("%d",n1.bit[i]);
    while (b--)
       printf("0");
    printf("\n");
}
int main()
{
    int t,iCase=0;
    struct BigNumber n1,n2;
    char str1[1005],str2[1005];
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%s%s",str1,str2);
        int i;
        n1.len=strlen(str1);
        for (i=0;i<n1.len;i++)    // 二进制字符串的str1[0]是二进制数的最高位，二者是逆序的
           n1.bit[i]=str1[n1.len-1-i]-'0';
        n2.len=strlen(str2);
        for (i=0;i<n2.len;i++)
           n2.bit[i]=str2[n2.len-1-i]-'0';
        printf("Case #%d: ",++iCase);
        gcd(n1,n2);
    }
    return 0;
}

      将上面的源程序提交给 HDU题库  HDU 5050 Divided Land（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5050），可以Accepted。

 【例3】N!

问题描述

表达式N！，读作N的阶乘，表示前N个正整数的乘积。如果N的阶乘是十六进制的，没有前导零，你能告诉我们其中有多少个零吗？例如，15！=（13077775800）16，其中有3个零。

输入

输入包含几个测试用例。每个测试用例有一行，包含非负十进制整数N（N≤ 100)。你需要计算N！对应的十六进制数中的零的个数。负数终止输入。

输出

对于每个非负整数N，输出一行正好包含一个整数，为N！中的零的个数。

输入样例

1

15

-1

输出样例

0

3

       （1）编程思路。

        当N值较大时，N!的一个很大的数。为此定义结构体类型

       struct BigNumber

       {

            int len;        //  保存十六进制数的位数

            int bit[1005];  //  保存各位的数字，每个数组元素保存十六进制数的1位数，其中bit[0]保存十六进制数的个位数。

       }; 

的变量来保存N!的十六进制结果。

       编写一个函数 struct BigNumber mul(struct BigNumber a,int b)完成十六进制整数a与十进制整数b相乘，结果是一个十六进制数并作为函数值返回，在函数中，将bit数组中保存的len位数字从下标0开始，逐位与int型整数b相乘，在相乘的过程中对乘积进行逢十六进一即可。 

         （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct BigNumber
{
   int len;
   int num[205];
};
struct BigNumber mul(struct BigNumber a,int b)  // 十六进制整数a与十进制整数b相乘
{
    struct BigNumber ret;
    memset(ret.num,0,sizeof(ret.num));
    int i;
    for (i=0;i<a.len;i++)
    {
        ret.num[i]=ret.num[i]+a.num[i]*b;
        ret.num[i+1]=ret.num[i]/16;   // 向前进位
        ret.num[i]%=16;
    }
    i=a.len;
    while (ret.num[i]!=0)             // 高位继续向前进位
    {
        ret.num[i+1]=ret.num[i]/16;
        ret.num[i]%=16;
        i++;
    }
    ret.len=i;
    return ret;
}
int main()
{
    struct BigNumber fact[101];
    fact[1].len=1;
    fact[1].num[0]=1;
    int i,j;
    for (i=2;i<=100;i++)
        fact[i]=mul(fact[i-1],i);
    int ans[101]={0,0};
    for (i=2;i<=100;i++)
    {
        int cnt=0;
        for (j=fact[i].len-1;j>=0;j--)
            if (fact[i].num[j]==0) cnt++;
        ans[i]=cnt;
    }
    int n;
    while (scanf("%d",&n) && n>=0)
    {
        printf("%d\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}

       将上面的源程序提交给 HDU题库 HDU 2940 Hex Factorial（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2940），可以Accepted。 

【例4】进制转换

问题描述

编写一个程序，将一个基数的数字转换为另一个基数。有62个不同的数字：｛0-9，A-Z，a-z｝

输入

第一行输入包含一个正整数N，表示测试用例的组数。之后N行，每一行将有一个十进制整数表示的输入基数，后跟一个十进制整数表示的输出基数，再跟一个以输入基数表示的数字。输入基数和输出基数都将在2到62的范围内。A=10，B=11，…，Z=35，a=36，b=37，…，z=61（0-9有其通常的含义）。

输出

程序的输出应包括每执行一次基本转换的三行输出。第一行应该是十进制的输入基数，后跟空格，然后是输入数字（以输入基数表示）。第二行应该是输出基数，后跟一个空格，然后是输出数字（以输出基数表示）。第三输出行为空。

输入样例

8

62 2 abcdefghiz

10 16 1234567890123456789012345678901234567890

16 35 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2

35 23 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A

23 49 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05

49 61 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj

61 5 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S

5 10 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030

输出样例

62 abcdefghiz

2 11011100000100010111110010010110011111001001100011010010001

 

10 1234567890123456789012345678901234567890

16 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2

 

16 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2

35 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A

 

35 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A

23 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05

 

23 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05

49 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj

 

49 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj

61 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S

 

61 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S

5 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030

 

5 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030

10 1234567890123456789012345678901234567890

       （1）编程思路。 

       一般不同进制转换是以10进制为中介进行转换，但若转换的数较大的话，复杂度较高。可以采用短除法直接将A进制数x直接转化为B进制数y，其基本原理是将x每次除以B，得到的余数的逆序列是就B进制表示的结果。每次除的时候，从最高位开始除，商作为x当前位的值保存，得到的余数乘以A加到下一位，一直到最低位。最后得到的余数作为B进制数y的某位保存。重复这一过程，直到A进制数x为0。

       用一个例子简单说明：将十六进制数6E转换为八进制数。

       为方便说明，设用数组x存储十六进制的各位数字，用数组y存储转换后得到的八进制各位数字。

       首先将表示十六值数6E的字符串转换为x中存储的各位整数。转换后 x[0]=14，x[1]=6。

       从高位开始除，x[1]=6， 6/8商为0，余数为6，将商保存到当前位x[1]中，x[1]=0，将余数 6*16加到下一位x[0]中，x[0]=14+6*16=110。

      再接着进行下一位的除法。 X[0]=110，110/8商为13，余数为6，将商保存到当前位x[0]中，x[0]=13，因为这是最低位（个位），一次除法结束，余数6作为转换后八进制数的数字保存到y数组中，y[0]=6。

      去掉x数组的高位前导0后，x数组中 x[0]=13。

       X!=0，继续重复上面的过程。x[0]=13，13/8商为1，余数为5，将商保存到当前位x[0]中，x[0]=1，同样因为这是最低位（个位），一次除法结束，余数作为转换后八进制数的数字保存到y数组中，y[1]=5。

       X!=0，继续重复上面的过程。x[0]=1， 1/8商为0，余数为1，将商保存到当前位x[0]中，x[0]=0，同样因为这是最低位（个位），一次除法结束，余数作为转换后八进制数的数字保存到y数组中，y[2]=1。

       至此，X等于0，转换结束。再将数组y中保存的数字按逆序的方式转换为字符串 156。也就是说，十六进制数6E转换为八进制数为 156。

        （2）源程序。 

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_LEN 600
void Base1toBase2(char a[],char b[],int base1,int base2)
{
    int num1[MAX_LEN],num2[MAX_LEN];
    int n,i,j,k;
    n = strlen(a);
    j = 0;
    for (i = n - 1;i >= 0 ; i --)
    {
        if (a[i]>='A' && a[i]<='Z')
            num1[j++]=a[i]-'A'+10;
        else if (a[i]>='a' && a[i]<='z')
            num1[j++]=a[i]-'a'+36;
        else 
            num1[j++]=a[i]-'0';
    }   
    k=0;
    while (n!=0)
    {
        for (i=n-1;i>0;i--)      // 短除法
        {
            num1[i-1]+=num1[i]%base2*base1;
            num1[i]/=base2;
        }
        num2[k++]=num1[0]%base2;
        num1[0]/=base2;
        while (n>0 && num1[n-1]==0) n--;
    }
    for (j=0,i=k-1;i>=0;i--)  
    {
        if (num2[i]<10)
            b[j++]=num2[i]+'0';
        else if (num2[i]<36)
            b[j++]=num2[i]-10+'A';
        else
            b[j++]=num2[i]-36+'a';
    }
    b[j]='\0';
}
int main()
{
    int t,base1,base2;
    char src[MAX_LEN],dest[MAX_LEN],tmp[MAX_LEN];
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d",&base1,&base2);
        scanf("%s",src);
        Base1toBase2(src,dest,base1,base2);
        printf("%d %s\n",base1,src);
        printf("%d %s\n\n",base2,dest);
    }
    return 0;
}

       将上面的源程序提交给 北大 POJ 题库  POJ 1220  NUMBER BASE CONVERSION（http://poj.org/problem?id=1220），可以Accepted。