【20220627】【信号处理】自相关函数的定义、计算方法及应用

Satisfying 2023-05-27 原文

一、定义

1.1 概念引入

要描述两个信号之间的相似性，仅用 “很像”、“不太像” 等的描述就显得十分模糊，因此就需要一个指标定量描述信号间的相似程度。根据 “相关函数” 那篇文章可以知道，相关函数的物理意义就是用于定量描述两个随机信号之间的线性相关性，计算公式为：

$\rho_{x,y}=\frac{cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x\sigma_y}$

相关函数可分为自相关函数、互相关函数和协方差函数。自相关函数是描述同一个随机信号 $x(t)$ 在任意不同时刻 $t_1, t_2$ 的取值之间的线性相关程度；互相关函数式描述两个不同的随机信号 $x(t), y(t)$ 在任意不同时刻 $t_1, t_2$ 的取值之间的线性相关程度。本文重点介绍自相关函数。

1.2 自相关函数定义

自相关函数（ACF, Auto Correlation Function）是描述某一个随机信号在不同时刻之间的相关程度。自相关函数相当于对信号本身做 “互相关”，表示同一序列不同时刻的相关程度。利用自相关函数的物理意义，它可以用来寻找信号中的重复模式（比如寻找淹没在噪声中周期信号的周期），还可以识别丢失的基频等。自相关函数常用大写字母 $R$ 表示，其定义式为：

$R_{x,x}=E(x(t_1), x(t_2))$

对于连续信号，定义式为：

$R_{x,x}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x(t+\tau)dt$

对于离散信号，定义式为：

$R_{x,x}(n)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(m)x(m+n)$

也就是说，自相关函数就是信号 $x(t)$ 和信号的时延 $x(t+\tau)$ 的乘积之和，自相关函数曲线是时延 $\tau$ 的函数。

区分自相关函数和自相关系数：自相关系数类似于相关系数的概念，它是没有量纲的。自相关系数常用希腊字母 $\rho$ 表示，其定义式为（定义式就是自相关函数和自相关系数的转换关系式）：

$\begin{align} \rho_{x,x}&=\frac{cov(x(t_1), x(t_2))}{\sigma_{x(t_1)}\sigma_{x(t_2)}}\nonumber\\ &=\frac{E[x(t_1)x(t_2)]-E[x(t_1)]E[x(t_2)]}{\sigma_{x(t_1)}\sigma_{x(t_2)}}\nonumber\\ &=\frac{R_{x,x}-\mu_x^2}{\sigma_x^2}\nonumber \end{align}$

1.3 一个小例子

假如有一个时间序列 $x(n)=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ ，根据离散信号的定义，做如下计算：

$R_{x,x}(-9)=1*10=10$

$R_{x,x}(-8)=1*9+2*10=29$

$R_{x,x}(-7)=1*8+2*9+3*10=56$

$R_{x,x}(-6)=1*7+2*8+3*9+4*10=90$

$R_{x,x}(-5)=1*6+2*7+3*8+4*9+5*10=130$

$R_{x,x}(-4)=1*5+2*6+3*7+4*8+5*9+6*10=175$

$R_{x,x}(-3)=1*4+2*5+3*6+4*7+5*8+6*9+7*10=224$

$R_{x,x}(-2)=1*3+2*4+3*5+4*6+5*7+6*8+7*9+8*10=276$

$R_{x,x}(-1)=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10=330$

$R_{x,x}(0)=1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9+10*10=385$

$R_{x,x}(1)=2*1+3*2+4*3+5*4+6*5+7*6+8*7+9*8+10*9=330$

$\cdots\cdots$

解释：虽然相关函数定义是从负无穷到正无穷，但是移位之后有交叉的部分乘积才不为零，因此只计算交叉部分即可。因此，长度为 10 的时间序列，自相关函数的结果是 1*19 的数组。即，长度为 N 的时间序列，其自相关函数是长度为 2N-1 的数组。

二、性质

自相关函数是偶函数， $R_{x,x}(\tau)=R_{x,x}(-\tau)$ ，自相关系数曲线关于 $\tau=0$ 对称；
当 $\tau=0$ 时，自相关函数取得最大值，即： $R_{x,x}(\tau)_{max}=R_{x,x}(0)$ ，其物理意义为信号的均方值；
周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号；
若随机信号不含周期成分，当 $\tau$ 趋于无穷大时，自相关函数趋于信号平均值的平方。

性质的证明过程详见：【20220629】【信号处理】（平稳随机信号）自相关函数性质的证明过程

三、Matlab 仿真

Matlab 中求时间序列自相关的函数命令为：xcorr()

%% 自相关函数
clear; clc; close all; warning off;

xn = 1 : 10;
[xn_autoxcorr, tau]= xcorr(xn);  % 时间序列xn的自相关函数曲线
figure(1); clf;
plot(tau, xn_autoxcorr, 'linewidth', 1.2); 
xlabel('\tau'); ylabel('自相关系数'); title('xn的自相关函数曲线');
set(gca, 'fontsize', 14);

四、应用

回波检测；
分析出信号中的噪声并进行去噪；
检测淹没在随机噪声中的周期信号；
从畸变的波形中分离出基波和谐波等。

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