文章目录

• • 一、线段曲率计算原理
  • 二、线段拐点提取流程
  • 三、python实现拐点的提取
  • • 3.1、曲线的点的平滑
    • • 3.1.1、一次贝塞尔曲线拟合
      • 3.1.2、二次贝塞尔曲线拟合
    • 3.2、拐点的计算
    • • 3.2.1、Bending value的计算
      • 3.2.2、判断三点是否在同一条直线上
      • 3.2.3、计算拐点

一、线段曲率计算原理

一般的曲率计算方法，如玄长比例法、三次B样条表达、线性多边形逼近和局部对称等方法。今天主要介绍 弯曲值算法（Bending value） 算法。其表达式为：
$$b_{ik}=max(|(x_{i-k}-x_i)+(x_{i+k}-x_i))|,|(y_{i-k}-y_i)+(y_{i+k}-y_i)|)$$
计算Bending Value的示意图如下：

参考链接：

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二、线段拐点提取流程

• 计算线段上每一点的Bending Value，记作$Bv(i)$,这里需要初始化阈值delta=1.1和搜索范围k=1

• 当$Bv(i)>delta$,且对于所有$i-k<=j<=i+k$,均有$Bv(i)>=Bv(j)$,则该点符合局部曲率最大的性质，作为候选拐点。

• 筛选条件一：判断候选拐点相邻三点$p_{i-1}$、$p_i$、$p_{i+1}$是否位于同一条直线上，如果在则排除该点

• 筛选条件二：计算自适应弯曲值（Bending Value）。算法流程如下：

  计算候选点的搜索范围k从1开始增加，用$b_{ik}$表示当前Bending Value。如果$b_{ik}>=b_{ik+1}$，k增加1，否则停止增加。求得连续的Bending Value值后，需要再进行求平均值，作为最终该点的弯曲值，计算公式如下：
  $$b_{v_i}=\frac{1}{k_i}\sum _{j=1}^{k_i}{b}_{ij}$$
  根据计算的自适应拐点，还需要满足以下条件：

  • 条件一：$b_{v_i}<theta$
  • 条件二：$b_{v_i}<b_{v_j}$,对于$j=i-1$或$j=i+1$
  • 条件三：$b_{v_i}=b_{v_{i-1}}$,并且$k_i<k_{i-1}$
  • 条件四：$b_{v_i}=b_{v_{i+1}}$，并且$k_i<=k_{i+1}$

  条件一表示Bending Value值应大于阈值，条件二、三、四表示拐点必须为局部最大值

三、python实现拐点的提取

3.1、曲线的点的平滑

当获取曲线的点整后点与点之间可能存在较大的间隔，需要我们对这些点进行一个采样来增加其连续性。一般采样方法有DDA、一次贝塞尔曲线拟合、二次贝塞尔曲线拟合或三次贝塞尔曲线离合。其中DDA和一次贝塞尔曲线拟合类似。都是通过两点之间直线的斜率来进行一个采样，当然使用更高阶的方法，采样曲线也更加平滑。

3.1.1、一次贝塞尔曲线拟合

如上图所示，对于平面上的两个点 P0 和 P1，假设另一点 B 匀速地从 P0 点运动到 P1 点，则有 B 点在 t 时刻的坐标公式：

将 B 点在各个时刻的坐标依次连接起来所形成的线，就是所谓的贝塞尔曲线。此公式表示的是一次贝塞尔曲线，也称为线性贝塞尔曲线。

python实现如下：

def getFirstBezierPointByT(start,end,t):
	'''
	根据一次贝尔曲线的的计算公式计算各个时刻的坐标值
	:param start:
	:param end:
	:param t:
	:return:
	'''
	x=(1-t)*start[0]+t*end[0]
	y=(1-t)*start[1]+t*end[1]

	return [x,y]

def calculateFirstBezierPoints(start,end):
	'''
	计算两点之间的塞尔曲线点集
	:param start:
	:param handle:
	:param end:
	:return:
	'''
	bx=start[0]
	by=start[1]
	ex=end[0]
	ey=end[1]

	beDis=math.sqrt(math.pow((bx-ex),2)+math.pow((by-ey),2))

	count=int(beDis//1)

	if count<2:
		return [start]

	step = 1.0 / count
	points=[]
	t = 0.0
	for i in range(count):
		points.append(getFirstBezierPointByT(start, end, t))
		t += step

	return points

def firstBezierCurveFitting(pts):
	'''
	一次贝塞尔曲线拟合
	:param pts:
	:return:
	'''
	new_pts = []
	for pt in pts:
		new_pt = []
		for i in range(0, (len(pt) - 1)):
			pp=calculateFirstBezierPoints(pt[i], pt[i + 1])
			new_pt += pp


		new_pt.append(pt[len(pt)-1])
		new_pts.append(new_pt)

	return new_pts

3.1.2、二次贝塞尔曲线拟合

同样地，对于平面上的三个点 P0、P1 和 P2 ，假设 P0P1 之间有个点 B1 匀速地从 P0 运动到 P1 ，P1P2 之间有个点 B2 匀速地从 P1 运动到 P2，则有：

假设另一点 B 匀速地从 B1 运动到 B2，则有 B 点的坐标公式：

将 B1 和 B2 的坐标公式代入上面的表达式，整理后得到 B 点的坐标公式：

B 点在各个时刻的坐标所连成的曲线即为二次贝塞尔曲线，其中 P0 和 P2 称为 数据点，P1 称为 控制点 。
具体python实现可以参考如下链接实现。

参考链接：

一种简单的贝塞尔拟合算法

3.2、拐点的计算

3.2.1、Bending value的计算

def computeBendingValue(p1,p2,p3):
	'''
	计算弯曲值
	:param p1:
	:param p2:
	:param p3:
	:return:
	'''
	return max(abs(p1[0]+p3[0]-2*p2[0]),abs(p1[1]+p3[1]-2*p2[1]))

3.2.2、判断三点是否在同一条直线上

def isSameGradient(p1,p2,p3):
	'''
	判断相邻三点是否在同一条直线上
	:param p1:
	:param p2:
	:param p3:
	:return:
	'''
	g1=(p1[1]-p2[1])/(p1[0]-p2[0]+0.00001)
	g2=(p2[1]-p3[1])/(p2[0]-p3[0]+0.00001)

	return g1==g2

3.2.3、计算拐点

计算拐点时，需要有些核心注意点：

• 计算笔迹端点的Bending value，需要进行一些预处理，我的处理如下：

  #当位于左端点的时候
  if i-k<0:
      p1=pt[i]
  else:
      p1=pt[i-k]
  
  #当位于右端点的时候
  if i+k>=len(pt):
      p3=pt[i]
  else:
      p3=pt[i+k]
  

• 如何计算自适应Bending value

  				k0=1
  				bv0=0
  				bv_list=[]
  				# 计算候选拐点所有的Bending Value曲率，直到最大值为止
  				while k0+i<len(pt) and i-k0>0:
  					bv0=computeBendingValue(pt[i-k0],pt[i],pt[i+k0])
  					if bv0>=bv:
  						bv_list.append(bv0)
  						bv=bv0
  						k0+=1
  
  					if bv0<bv:
  						break
  
  				k_list[i]=k0
  
  				# 计算所有曲率的平均值，作为最终的候选点的曲率
  				if len(bv_list)==0:
  					avg_bv=bv
  				else:
  					avg_bv=sum(bv_list)/len(bv_list)
  

• 进一步筛选拐点的实现

  				# 条件一：bv<theta.theta=1.1
  				# 条件二：bvi<bvj and j=i-1 or j=i+1,表示
  				# 条件三：bvi==bvi-1 and ki<ki-1
  				# 条件四：bvi==bvi+1 and ki<=ki+1
  				# 条件一表示Bending Value应该大于theta；条件二~四表示Bending Value应该为局部最大值
  				if avg_bv<1.1 or \
  						(curvs[i] < curvs[i - 1] or curvs[i] < curvs[i + 1]) or \
  						(curvs[i]==curvs[i-1] and k_list[i]<k_list[i-1]) or \
  						(curvs[i]==curvs[i+1] and k_list[i]<=k_list[i+1]):
  					continue
  				else:
  					result.append(i)
  

• 最后还需要进一步合并相邻的拐点

  	merge_result=[]
      i=0
  	tmp=[]
  	while i+1<len(result_1):
  		if result_1[i+1]-result_1[i]<5:
  			tmp.append(result_1[i])
  
  			if i+1==len(result_1)-1:
  				tmp.append(result_1[i+1])
  				merge_result.append(tmp)
  				tmp=[]
  
  		else:
  			tmp.append(result_1[i])
  			merge_result.append(tmp)
  			tmp=[]
  
  			if i + 1 == len(result_1) - 1:
  				merge_result.append([result_1[i+1]])
  
  		i=i+1
  
  	# 合并最终的结果
  	new_result=[]
  	for res in merge_result:
  		avg_res=sum(res)//len(res)
  		new_result.append(avg_res)
  

因为项目原因，不方便提供完整代码，但核心点已经给出，方便大家参考。最终结果如下：