完全二叉树

完全二叉树的定义

满二叉树

非完全二叉树，非满二叉树

完全二叉树

完全二叉树的特点

叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。

完全二叉树的实现

• 二叉链表：直观，但占用内存大。
• 数组：简洁，但拓展麻烦。

比较推荐使用数组存储，本文也将基于数组存储介绍大顶堆的实现。

基于数组存储的完全二叉树节点与数组下标的关系

假设完全二叉树的 节点 A 存储在数组中的下标为 i
则：

• 节点 A 的父节点存储在数组中的下标为 (i - 1) / 2
• 节点 A 的左子节点存储在数组中的下标为 2 * i + 1
• 节点 A 的右子节点存储在数组中的下标为 2 * i + 2

堆

堆的定义

堆是一种特殊的数据结构，是高效的优先级队列，堆通常可以被看做一棵完全二叉树。

堆的分类

根据堆的特点，可以把堆分为两类：

• 大顶堆：每一个节点的值都大于或等于其左右子节点的值。
  
• 小顶堆：每一个节点的值都小于或等于其左右子节点的值。
  

堆的插入

往堆中插入数据，可能会破坏大顶堆（小顶堆）的性质，需要对堆进行调整。
堆的插入流程如下：

1. 将插入的数据置于数组的尾部
2. 将新插入的节点作为当前节点，比较当前节点与其父节点是否满足堆的性质，不满足则交换
3. 重复步骤 2，直到满足堆的性质或者当前节点到达堆顶。

/**
 * 添加元素
 * @param value 待添加元素
 */
public void offer(int value){
  if(this.currentLength >= this.capacity){    // 数组已耗尽，扩增数组为原来的两倍
    this.grow();
  }
  int cur = this.currentLength++;             // 获得待添加元素的添加位置
  if(cur == 0){                               // 当前堆为空直接添加
    this.tree[cur] = value;
  }else{                                      // 当前堆不为空，添加之后要向上调整
    this.tree[cur] = value;                   // 步骤 1
    int p = cur;                            
    int parent = this.getParentIndex(p);    
    while(this.tree[parent] < this.tree[p]){  // 步骤 2
      this.swap(parent, p);
      p = parent;
      parent = this.getParentIndex(p);
    }
  }
}

往堆中插入数据的时间复杂度为 O(logN)

堆的构建

构建一个大小为 N 的堆，其实就是执行 N 次插入。
所以构建一个大小为 N 的堆，其时间复杂度为 O(NlogN)

堆的删除

堆的删除也可能会破坏大顶堆（小顶堆）的性质，需要对堆进行调整。
堆的删除流程如下：

1. 取出堆顶的数据
2. 用堆的最后一个元素代替堆顶元素
3. 判断当前节点（一开始是堆顶），是否满足大顶堆（小顶堆）的性质，不满足则用左右子节点中较大的节点进行交换
4. 重复步骤 3 直到满足堆的性质或没有子节点

/**
 * 取出最大元素
 * @return 最大元素
 */
public int poll(){
    if(isEmpty()){
        throw new RuntimeException("堆为空，无法取出更多元素！");
    }
    int cur = --this.currentLength;         // 获得当前堆尾
    int result = this.tree[0];              // 取出最大元素 步骤1
    this.tree[0] = this.tree[cur];          // 将堆尾移到堆头 步骤2
    if(cur != 0){                           // 如果取出的不是最后一个元素，需要向下调整堆 步骤3
        int p = 0;
        int left = getLeftIndex(p);
        int right = getRightIndex(p);
        // 由于是数组实现，数组元素无法擦除，需要通过边界进行判断堆的范围
        // 当前节点和左节点在堆的范围内，
        while(p < this.currentLength &&
                0 <= left && left < this.currentLength &&
                (this.tree[left] > this.tree[p] || this.tree[right] > this.tree[p])){
            if(right >= this.currentLength){    // 当前节点没有右节点
                if(this.tree[left] > this.tree[p] ){        // 左节点大于当前节点
                    swap(p, left);
                    p = left;
                }
            }else{                                          // 两个节点都在堆范围
                if(this.tree[left] > this.tree[right]){     // 用大的节点替换
                    swap(p, left);
                    p = left;
                }else{
                    swap(p, right);
                    p = right;
                }
            }
            left = getLeftIndex(p);
            right = getRightIndex(p);
        }
    }
    return result;
}

堆的删除元素时间复杂度为 O(logN)

完整代码

// 大顶堆
public class Heap {
    private int[] tree;         // 数组实现的完全二叉树
    private int capacity;       // 容量
    private int currentLength;  // 当前数组已使用长度

    /**
     * 构造函数
     * @param capacity 初始容量
     */
    public Heap(int capacity) {
        this.tree = new int[capacity];
        this.capacity = capacity;
        this.currentLength = 0;
    }

    /**
     * 添加元素
     * @param value 待添加元素
     */
    public void offer(int value){
        if(this.currentLength >= this.capacity){    // 数组已耗尽，扩增数组为原来的两倍
            this.grow();
        }
        int cur = this.currentLength++;             // 获得待添加元素的添加位置
        if(cur == 0){                               // 当前堆为空直接添加
            this.tree[cur] = value;
        }else{                                      // 当前堆不为空，添加之后要向上调整
            this.tree[cur] = value;                 // 步骤 1
            int p = cur;
            int parent = this.getParentIndex(p);
            while(this.tree[parent] < this.tree[p]){    // 步骤 2
                this.swap(parent, p);
                p = parent;
                parent = this.getParentIndex(p);
            }
        }
    }

    /**
     * 取出最大元素
     * @return 最大元素
     */
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("堆为空，无法取出更多元素！");
        }
        int cur = --this.currentLength;         // 获得当前堆尾
        int result = this.tree[0];              // 取出最大元素 步骤1
        this.tree[0] = this.tree[cur];          // 将堆尾移到堆头 步骤2
        if(cur != 0){                           // 如果取出的不是最后一个元素，需要向下调整堆 步骤3
            int p = 0;
            int left = getLeftIndex(p);
            int right = getRightIndex(p);
            // 由于是数组实现，数组元素无法擦除，需要通过边界进行判断堆的范围
            // 当前节点和左节点在堆的范围内，
            while(p < this.currentLength &&
                    0 <= left && left < this.currentLength &&
                    (this.tree[left] > this.tree[p] || this.tree[right] > this.tree[p])){
                if(right >= this.currentLength){    // 当前节点没有右节点
                    if(this.tree[left] > this.tree[p] ){        // 左节点大于当前节点
                        swap(p, left);
                        p = left;
                    }
                }else{                                          // 两个节点都在堆范围
                    if(this.tree[left] > this.tree[right]){     // 用大的节点替换
                        swap(p, left);
                        p = left;
                    }else{
                        swap(p, right);
                        p = right;
                    }
                }
                left = getLeftIndex(p);
                right = getRightIndex(p);
            }
        }
        return result;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return this.currentLength <= 0;
    }

    private int getParentIndex(int index){
        return (index - 1) / 2;
    }

    private int getLeftIndex(int index){
        return 2 * index + 1;
    }

    private int getRightIndex(int index){
        return 2 * index + 2;
    }

    private void swap(int left, int right){
        int temp = this.tree[left];
        this.tree[left] = this.tree[right];
        this.tree[right] = temp;
    }

    /**
     * 将数组拓展为原来的两倍
     */
    private void grow(){
        this.tree = Arrays.copyOf(this.tree, 2 * currentLength);
        this.capacity = this.tree.length;
    }
}