🌟 前言
Wassup guys，我是Edison 😎
今天是C语言每日一练，第154天！
Let’s get it！
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编写用牛顿迭代法求方程根的函数。
方程为 a x 2 + b x 2 + c x + d = 0 ax^2+bx^2+cx+d=0 ax2+bx2+cx+d=0，系数a，b，c，d 由主函数输入。
求 x x x 在 1 1 1 附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。
牛顿迭代法的公式是： − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) -\frac{f(x_0 )}{f'(x_0)} −f′(x0)f(x0) ，设迭代到 ∣ x − x 0 ∣ ≤ 1 0 − 5 |x-x_0|\leq10^{-5} ∣x−x0∣≤10−5 时结束。
牛顿迭代法是取 x 0 x_0 x0 之后，在这个基础上，找到比 x 0 x_0 x0 更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。
设 r r r 是 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 的根，选取 x 0 x_0 x0 作为 r r r 初始近似值。
过点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f(x_0)) (x0,f(x0)) 作为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的切线 L L L，
L L L 的方程为 y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ∗ ( x − x 0 ) y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0) y=f(x0)+f′(x0)∗(x−x0)，
求出 L 与 x 轴交点的横坐标 x 1 = x 0 − f ( x 0 ) / f ′ ( x 0 ) x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0) x1=x0−f(x0)/f′(x0)，称 x x x 为 r r r 的一次近似值，
过点 ( x 1 , f ( x 1 ) ) (x_1,f(x_1)) (x1,f(x1)) 作为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标 x 2 = x 1 − f ( x 1 ) / f ′ ( x 1 ) x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1) x2=x1−f(x1)/f′(x1)，称 x 2 x_2 x2 为 r r r 的二次近似值，
重复以上过程，得 r r r 的近似值 x n x_n xn。
上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。
程序流程分析👇
(1) 在 1 1 1 附近找任一实数作为 x 0 x_0 x0 的初值，我们取 1.5 1.5 1.5，即 x 0 = 1.5 x_0=1.5 x0=1.5
(2) 用初值 x 0 x_0 x0 代入方程中计算此时的 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 及 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)；程序中用变量 f f f 描述方程的值，用 f d fd fd 描述方程求导之后的值。
(3) 计算增量 h = f / f d h=f/fd h=f/fd。
(4) 计算下一个 x : x = x 0 − h x:x=x_0-h x:x=x0−h。
(5) 用新产生的 x x x 替换原来的 x o x_o xo，为下一次迭代做好准备。
(6) 若 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0∣>=1e−5，则转到第 (3) 步继续执行，否则转到步骤 (7)。
(7) 所求 x x x 就是方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0 的根，将其输出。
本程序的编写既可用while，也可用do...while，二者得到的结果是一样的，只是在赋初值时稍有不同。
while结构需要先判定条件，即先判断 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0∣>=1e−5 是否成立，这样对于 x x x， x 0 x_0 x0 我们要在 1 1 1 附近取两个不同的数值作为初值；
do...while结构是先执行一次循环体，得到 x x x 的新值后再进行判定，这样程序开始只需给 x x x 赋初值。
这里我们采用do...while结构来实现。
程序的主体结构如下👇
由于程序中用到了绝对值函数fabs()， 所以在程序的开始要加上头文件#include <math.h>。
流程图如下所示👇
编写程序时要注意的一点是判定 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0∣>=1e−5。
从牛顿迭代法的原理可以看出：迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值，最初给 x 0 x_0 x0 所赋初值与根的精确值是相差很多了，正是因为这个我们才需要不断地进行迭代，也就是程序中循环体的功能。
在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小，直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时，便可结束迭代。
若我们把判定条件改为 ∣ x − x 0 ∣ < 1 e − 5 |x-x_0|<1e-5 ∣x−x0∣<1e−5，则第一次的判断结果必为假，这样就不能进入循环体再次执行。
定义 solution()函数求方程的根。solution()函数的代码如下👇
完整代码📝
#include <stdio.h>
#include <math.h>
float solution(float a, float b, float c, float d)
{
float x0, f, fd, h;
float x = 1.5;
do
{
x0 = x;
f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d;
fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c;
h = f / fd;
x = x0 - h;
} while (fabs(x-x0) >= 1e-5);
return x;
}
int main()
{
float a, b, c, d;
float x;
printf("请输入方程的系数：");
scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);
x = solution(a, b, c, d);
printf("\n");
printf("所求方程的根为：x=%f\n", x);
return 0;
}
运行结果👇
代码解释👇
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