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我们假设要求十个数的全排列,我们有一种十分简单的方法,写一个10级的for循环,如下
for i in range(1,11):
for j in range(1,11): #并且让j不等于i
for k in range(1,11): #并且让k不等于i,j
......
这是一种非常容易想到的方法,但我相信没有人会喜欢这种方法。
接下来我们使用另一种方法;
求 {1 2 3 4 5......n}的全排列的思路如下:
(1)让第一个数不同,得到n个数列(办法是:把第1个和后面每个数交换即可):
1 2 3 4 5......n
2 1 3 4 5......n
.....
n 2 3 4 5......1
以上n个数列,只要第一个数不同,不管后面n-1个数是怎么排列的,这n个数列都不同。
这是递归的第一层
(2)继续:在上面的每个数列中,去掉第一个数,对后面的n-1个数进行类似的排列。例如从上面第2行的{2 1 3 4 5......n}进入第二层(去掉首位2):
1 3 4 5......n
3 1 4 5......n
......
n 3 4 5......1
以上n-1个数列,只要第一个数不同,不管后面n-2个数是怎么排列的,这n-1个数列都不同。
这是递归的第二层。
(3)继续以上过程,直到用完所有数字。
而我们不难得出,这个算法总共有n×(n-1)×(n-2)×......×1个情况。
def swap(s,i,j):
temp = s[i]
s[i] = s[j]
s[j] = temp
#全排列实现
def perm(begin,end):
global num
if begin == end:
print(nums)
else:
for i in range(begin,end+1):
swap(nums,begin,i)
perm(begin+1,end)
swap(nums,begin,i)
num = 0
nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
perm(0,9)
如果想要计算次数,则只需将每一个排列结束时的print语句改成num+=1即可
例如在10个数中取任意3个数的全排列,在递归程序中只修改一个地方就可以了:
if begin == 3: #将end改为3即可
print(nums[:3])
想要求n个数中任意m个数的组合,我们首先得要知道如何使用二进制法求子集。
例如n=3的集合{a0, a1, a2},它的子集和二进制数的对应关系是:

每个子集对应一个二进制数; 这个二进制数中的每个1,都对应了这个子集中的某个元素。
子集的数量是2 ** n个,因为所有二进制数的总个数是2 ** n。
def print_subset(n):
for i in range(1,1<<n):
for j in range(n):
if (i & 1<<j):
print(j,end=' ')
print()
while True:
n = int(input())
print_subset(n)
然后我们在回到我们想要求的问题, 求n个数中任意m个数的组合,对照子集生成的二进制方法,很容易看出,在n个元素的集合中找k个元素的子集,这个子集对应了1的个数为k的二进制数。
想要求出m个数的组合,那我们只需判断我们的k是否等于m便可
如何判断二进制数中1的个数为k个?
一个神奇的操作:kk= kk & (kk - 1),它能消除kk的二进制数的最后一个1。
例如:7,二进制是111 111&(111-1) = 111&110 = 110
利用这个操作,可以计算出二进制数中1的个数。
例如:7,二进制是111
111&(111-1) = 111&110 = 110
110&(110-1) =110&101 =100
100&(100-1) =100&011 =000
所以有3个1
def print_subset(n,k):
for i in range(1,1<<n):
num,kk = 0,i
while kk:
# 例如:7,二进制是111
# 111 & (111 - 1) = 111 & 110 = 110
# 110 & (110 - 1) = 110 & 101 = 100
# 100 & (100 - 1) = 100 & 011 = 000
kk = kk & (kk-1)
num += 1
if num == k:
for j in range(n):
if (i & 1<<j):
print(j,end=' ')
print()
while True:
n,k = map(int,input().split())
print_subset(n,k)
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