一、前言

在一幅图像中，低频部分对应图像变化缓慢的部分即图像大致外观和轮廓。高频部分对应图像变换剧烈的部分即图像细节(注意图像的噪声属于高频部分)。

低通滤波器的功能是让低频率通过而滤掉或衰减高频，其作用是过滤掉包含在高频中的噪声。即低通滤波的效果是图像去噪声平滑增强，但同时也抑制了图像的边界即过滤掉图像细节，造成图像不同程序上的模糊。对于大小为M*N的图像，频率点(u,v)与频域中心的距离为D(u,v)，其表达式为：

低通滤波器一共有三种，分别为理想低通滤波器、巴特沃斯低通滤波器和高斯低通滤波器。理想低通滤波器的滤波非常尖锐，高斯低通滤波器的滤波则非常平滑。巴特沃斯滤波器介于两者之间，当巴特沃斯低通滤波器的阶数较高时，接近于理想低通滤波器；当巴特沃斯低通滤波器的阶数较低时，则接近于高斯低通滤波器。

二、理想低通滤波器(ILPF)

1、基本定义

理想低通滤波器的产生公式为：

其中D0为理想低通滤波器的截止频率。理想低通滤波器在半径为D0的范围内，所有频率都可以没有衰减地通过滤波器，该半径之外的所有频率都完全被衰减掉。理想低通滤波器具有平滑图像的作用，但是有很严重的振铃现象。

补充1：图像处理中，对一幅图像进行滤波处理，若选用的频域滤波器具有陡峭的变化，则会使滤波图像产生“振铃”。所谓“振铃”，即指输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡，就好像钟被敲击后产生的空气震荡。如下图所示：

参考博客：图像处理中的振铃现象产生原因

2、matlab实现理想低通滤波器去除高斯噪声

（1）实现代码：

close all;
clear all;
clc;
I = imread('football.jpg');
I=rgb2gray(I);

subplot(131),imshow(I);
title('原始图像');

I=imnoise(I,'gaussian');%加入高斯白噪声
subplot(132),imshow(I);
title('加入噪声后所得图像');

% 函数fft2()用于计算二维傅立叶变换
% 函数fftshift()是对函数fft2()作傅里叶变换后得到的频谱进行平移,将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心
% 作二维傅里叶变换前一定要用函数im2double()把原始图像的数据类型由uint8转化为double类型
% 否则会因为unit8数据类型只能表示0-255的整数而出现数据截断,进而出现错误结果
s=fftshift(fft2(im2double(I)));
[a,b]=size(s);
a0=round(a/2);
b0=round(b/2);
d0=50; % 将理想低通滤波器的截止频率D0设置为50
for i=1:a %双重for循环计算频率点(i,j)与频域中心的距离D(i,j)=sqrt((i-round(a/2)^2+(j-round(b/2)^2))
    for j=1:b 
        distance=sqrt((i-a0)^2+(j-b0)^2);
        if distance<=d0  % 根据理想低通滤波器产生公式,当D(i,j)<=D0,置为1
            h=1;
        else
            h=0;        % 根据理想低通滤波器产生公式,当D(i,j)>D0,置为0
        end
        s(i,j)=h*s(i,j);% 频域图像乘以滤波器的系数
    end
end
% real函数取元素的实部
s=real(ifft2(ifftshift(s)));% 最后进行二维傅里叶反变换转换为时域图像
subplot(133),imshow(s,[]);
title('理想低通滤波所得图像'); 

（2）实现效果：

三、巴特沃斯低通滤波器(BLPF)

1、基本定义

巴特沃斯低通滤波器的产生公式为：

其中D0为巴特沃斯低通滤波器的截止频率，参数n为巴特沃斯低通滤波器的阶数，n越大则滤波器的形状越陡峭即振铃现象越明显。

2、matlab实现巴特沃斯低通滤波器去除高斯噪声

（1）实现代码：

close all;
clear all;
clc;
I = imread('football.jpg');
I=rgb2gray(I);

subplot(131),imshow(I);
title('原始图像');

I=imnoise(I,'gaussian');%加入高斯白噪声
subplot(132),imshow(I);
title('加入噪声后所得图像');

% 函数fft2()用于计算二维傅立叶变换
% 函数fftshift()是对函数fft2()作傅里叶变换后得到的频谱进行平移,将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心
% 作二维傅里叶变换前一定要用函数im2double()把原始图像的数据类型由uint8转化为double类型
% 否则会因为unit8数据类型只能表示0-255的整数而出现数据截断,进而出现错误结果
s=fftshift(fft2(im2double(I)));
[N1,N2]=size(s);%求二维傅里叶变换后图像大小
n=2;            % 将巴特沃斯低通滤波器的阶数n设置为2
d0=30;          % 将巴特沃斯低通滤波器的截止频率D0设置为30
n1=round(N1/2);
n2=round(N2/2);
for i=1:N1      %双重for循环计算频率点(i,j)与频域中心的距离D(i,j)=sqrt((i-round(N1/2)^2+(j-round(N2/2)^2))
    for j=1:N2 
        distance=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2);
        if distance==0 
            h=0; 
        else
            h=1/(1+(distance/d0)^(2*n));% 根据巴特沃斯低通滤波器公式为1/(1+[D(i,j)/D0]^2n)
        end
        s(i,j)=h*s(i,j);% 频域图像乘以滤波器的系数
    end
end
% real函数取元素的实部
s=real(ifft2(ifftshift(s)));% 最后进行二维傅里叶反变换转换为时域图像
subplot(133),imshow(s,[]);
title('Butterworth低通滤波图像');

（2）实现效果：

四、高斯低通滤波器(GLPF)

1、基本定义

高斯低通滤波器的产生公式为：


其中D0为高斯低通滤波器的截止频率，注意高斯低通滤波器不会产生振铃现象。

2、matlab实现高斯低通滤波器去除高斯噪声

（1）实现代码：

close all;
clear all;
clc;
I = imread('football.jpg');
I=rgb2gray(I);

subplot(131),imshow(I);
title('原始图像');

I=imnoise(I,'gaussian');%加入高斯白噪声
subplot(132),imshow(I);
title('加入噪声后所得图像');

% 函数fft2()用于计算二维傅立叶变换
% 函数fftshift()是对函数fft2()作傅里叶变换后得到的频谱进行平移,将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心
% 作二维傅里叶变换前一定要用函数im2double()把原始图像的数据类型由uint8转化为double类型
% 否则会因为unit8数据类型只能表示0-255的整数而出现数据截断,进而出现错误结果
s=fftshift(fft2(im2double(I)));
[a,b]=size(s);
d0=30; % 将高斯低通滤波器的截止频率D0设置为30
a0=round(a/2);
b0=round(b/2);
for i=1:a
    for j=1:b
        distance=sqrt((i-a0)^2+(j-b0)^2);    % 根据高斯低通滤波器公式H(u,v)=e^-[D^2(u,v)/2*D0^2] 
        h=exp(-(distance*distance)/(2*(d0^2))); % exp表示以e为底的指数函数
        s(i,j)=h*s(i,j);% 频域图像乘以滤波器的系数
    end
end

s=real(ifft2(ifftshift(s)));% 最后进行二维傅里叶反变换转换为时域图像
subplot(133),imshow(s,[]); 
title('高斯低通滤波图像');

（2）实现效果：

补充2：对图像噪声的简单理解：噪声在图像上常表现为引起较强视觉效果的孤立像素点或像素块。一般, 噪声信号与研究的对象不相关,它以无用的信息形式出现，扰乱图像的可观测信息。通俗的说，噪声点其实在视觉上看上去让人感觉很难受，直观理解就是其和周围的像素点差异比较大，显得比较突兀，视觉看起来很不舒服。

参考博客：
(1) 通过matlab编程，对以下图像分别添加高斯噪声和椒盐噪声（参数自定），并使用理想低通滤波器、高斯低通滤波器和巴特沃斯低通滤波器进行去噪
(2)用matlab编程实现数字图像理想低通滤波、高斯低通滤波和巴特沃斯低通滤波去噪算法

由于刚刚开始学习图像处理，对于很多知识理解不到位。如有错误，恳请指正，任重而道远，慢慢加油！