基本原理在这里就不多讲了，可以看看其他高浏览量的博文，这篇文章针对c语言的实现

复数运算算子

        我们都知道C语言本身是没有复数运算的，很多DSP、单片机要用到也没有开源库可以使用复数运算，针对FFT在硬件上运行只能手动从底层开始

定义复数类型

        这里用最简单高效的方法——结构体

struct complex
{
    double real;
    double image;
};

复数加法

struct complex complex_add(struct complex c1,struct complex c2)     //复数加法
{
    struct complex p;

    p.real = c1.real + c2.real;
    p.image = c1.image + c2.image;

    return p;

}

复数减法

struct complex complex_sub(struct complex c1,struct complex c2)     //复数减
{
    struct complex p;

    p.real = c1.real - c2.real;
    p.image = c1.image - c2.image;

    return p;

}

复数乘法

struct complex complex_multi(struct complex c1,struct complex c2)  //复数乘法
{
    struct complex c3;
    c3.real=c1.real*c2.real - c1.image *c2.image;
    c3.image = c2.real* c1.image + c1.real*c2.image;

    return c3;
};

复数取模

double mold_length(struct complex c)        //幅度
{
    return sqrt(c.real * c.real + c.image * c.image);
};

旋转因子

    教科书上的旋转因子一般长成这样把它变成可以运算的形式   

struct complex rotation_factor(int N,int n,int k)       //旋转因子
{
    struct complex w;

    w.real = cos(2* PI * n * k /N);
    w.image = - sin(2* PI * n * k /N);        //这里的PI是宏定义

    return w;
}

反位序操作

        我用的方法是基于时间抽取的基2FFT （DIT-FFT）所以开始进入FFT之前要先把序列顺序取反位序

int reverse_num(int l,int oringin_num)          //反位序
{
    int q=0,m=0;

    for(int k=l-1;k>=0;k--)
    {
        q = oringin_num % 2;
        m += q*(1<<k);
        oringin_num = oringin_num / 2;
    }

    return m;
}

解释一下这个代码含义，用取余操作取出最低位，把最低位放在m中最高位置，取出后除2操作把每一位右移，直到为0

FFT

我们首先拿出祖传的蝶形运算信号流图，

 在其中抽取一个蝶形详细分析，注意这其中上半部分是相加【+】下半部分是相减【-】，而且下半部分都会带有一个旋转因子，先记住这个特征，接下来编程会利用这个特征

 为了方便编程，把它表达成数学式子，这其中前一级与后一级的关系用等式表达

现在问题就是k和j的确定，重新观察完整的蝶形图在第【1】级两两运算的节点序号是【0、1】【2、3】【4、5】【6、7】；在第【2】级两两运算的节点序号是【0、2】【1、3】【4、6】【5、7】；第【3】级运算的节点是【0、4】【1、5】【2、6】【3、7】。注意这里不要用图上的反位置序，而是反位后的顺序，也就是下图红色序号

首先【j】与【k】的间隔可以容易观察出规律，每增加一级，间隔就会扩大两倍，换句话说【j】与【k】的间搁可以表达为下面的式子

好了，这里我们破解了第一条规律，急需确定的是这个旋转因子当中的，这里我没有观察到规律，只好直接引用教材上的解释

 我们可以简单验证一下：

比如第【3】级 【k=2】的情况

   

第【2】级【k=5】的情况

   

两次验证都符合实际FFT蝶形图的结果。

接下来看似没有急需破解的规律了，但是真正编程时候还是存在一个问题，【k】的取值不是从上到下按顺序的例如第一级的【k】取值为【0，2，4，6】第二级的取值为【0，1，4，5】第三级的取值为【0，1，2，3】。

这样如果按找从头到尾的顺序确实找不到什么规律，但是整体没规律，部分总会有规律吧，注意看我笔迹画的线为啥颜色是这样分的呢，没有发现很有规律吗？我们按找相同颜色分组，第一级的第一组两个蝶形运算的【k】之间相差距离刚好是【dist】的两倍,第二级的第一组两个蝶形运算的【k】之间相差的距离也是【dist】的两倍，但是到了第三级， 【dist】的两倍是【8】如果【k=0】 那么【k+8】就会超出最大序号【7】，那么考虑第三级分成【4】组，每一组只有一个蝶形运算，有别于其他两个，可以用for循环这样写

for(k=0;k<len;k+=(dist<<1))    //在二进制左移一位相当于乘2 ，这里len是FFT的点数N

同时考虑每一级内又有很多组，可以用for循环嵌套

for(j=0;j<dist;j++)
    for(k=0;k<len;k+=(dist<<1))    

最终把分析的结果整合到一起，写成单独的函数 ，注意一下，程序中的一些标号和前面分析的会有点不同

void fft(int len, struct complex in_x[],struct complex out_y[])
{

    /*
        param len 序列长度，目前只能是2的指数
        param in_x输入的序列
        param out_y输出的序列

    */


    int l,k,r,z,dist,q,j;       //l是级
    struct complex w,tmp;
    struct complex in_x_mem[len];

    l = log2(len);

    for(k=0;k<len;k++)
    {
        in_x_mem[k] = in_x[reverse_num(l,k)];       //反位序号操作
    }

    for(r = 0;r<l;r++)      //遍历每一级蝶形运算
    {

        dist = 1<<r;        //提前计算每一级的间隔距离

        for( j=0;j<dist;j++ )      //计算策略是拆成上下两组，先上计算，后下计算，j是计算的起始序号
        {

            for(k=j;k<len;k+=(dist<<1))     //不好解释，得看画图理解
            {
                q = k+dist; //q同一组蝶形运算第二个序号
                z = k << (l - r -1);    //确定旋转因子的指数


                w = rotation_factor(len,1,z);
                //由于不是并行计算，必须先缓存
                tmp = in_x_mem[k];

                in_x_mem[k] = complex_add( in_x_mem[k] , complex_multi(w, in_x_mem[q]) );
                in_x_mem[q] = complex_sub(tmp , complex_multi(w, in_x_mem[q]) );

                

            }


        }
    }
    
    memcpy(out_y,in_x_mem,len*sizeof(struct complex));    //拷贝到输出的数组
}

结果测试

这里我用序列输入到FFT，输出应该是

 对照结果，和计算一样，程序成功

完整程序

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>


#define PI 3.1415926
struct complex
{
    double real;
    double image;
};
struct complex complex_add(struct complex c1,struct complex c2);
struct complex complex_sub(struct complex c1,struct complex c2);
struct complex complex_multi(struct complex c1,struct complex c2);
struct complex rotation_factor(int N,int n,int k);
double mold_length(struct complex c);
void fft(int len, struct complex in_x[],struct complex out_y[]);




int main()
{
    int sam[8] = {1,-1,1,-1,1,-1,1,-1};
    int jhg[8] = {0,0,0,0,0,0,0,0};
    struct complex x[8];
    struct complex y[8];

    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        x[i].real = sam[i];
        x[i].image = jhg[i];
    }
    printf("时域序列\n");

    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        printf("(%.2f, %.2fi) \n",x[i].real,x[i].image);
    }

    fft(8,x,y);

    printf("频域序列\n");

    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        printf("(%.2f, %.2fi)\n",y[i].real,y[i].image);
    }

    

    return 0;
}

struct complex complex_add(struct complex c1,struct complex c2)     //复数加法
{
    struct complex p;

    p.real = c1.real + c2.real;
    p.image = c1.image + c2.image;

    return p;

}

struct complex complex_sub(struct complex c1,struct complex c2)     //复数减
{
    struct complex p;

    p.real = c1.real - c2.real;
    p.image = c1.image - c2.image;

    return p;

}

struct complex complex_multi(struct complex c1,struct complex c2)  //复数乘法
{
    struct complex c3;
    c3.real=c1.real*c2.real - c1.image *c2.image;
    c3.image = c2.real* c1.image + c1.real*c2.image;

    return c3;
};



struct complex rotation_factor(int N,int n,int k)       //旋转因子
{
    struct complex w;

    w.real = cos(2* PI * n * k /N);
    w.image = - sin(2* PI * n * k /N);

    return w;
}

double mold_length(struct complex c)        //幅度
{
    return sqrt(c.real * c.real + c.image * c.image);
};


int reverse_num(int l,int oringin_num)          //反位序
{
    int q=0,m=0;

    for(int k=l-1;k>=0;k--)
    {
        q = oringin_num % 2;
        m += q*(1<<k);
        oringin_num = oringin_num / 2;
    }

    return m;
}


void fft(int len, struct complex in_x[],struct complex out_y[])
{
    /*
        param len 序列长度，目前只能是2的指数
        param in_x输入的序列
        param out_y输出的序列

    */

    int l,k,r,z,dist,q,j;       //l是级
    struct complex w,tmp;
    struct complex in_x_mem[len];

    l = log2(len);

    for(k=0;k<len;k++)
    {
        in_x_mem[k] = in_x[reverse_num(l,k)];       //反位序号操作
    }

    for(r = 0;r<l;r++)      //遍历每一级蝶形运算
    {

        dist = 1<<r;        //提前计算每一级的间隔距离

        for( j=0;j<dist;j++ )      //计算策略是拆成上下两组，先上计算，后下计算，j是计算的起始序号
        {
            for(k=j;k<len;k+=(dist<<1))     //不好解释，得画图理解
            {
                q = k+dist; //q同一组蝶形运算第二个序号
                z = k << (l - r -1);    //确定旋转因子的指数

                w = rotation_factor(len,1,z);
                //由于不是并行计算，必须先缓存
                tmp = in_x_mem[k];

                in_x_mem[k] = complex_add( in_x_mem[k] , complex_multi(w, in_x_mem[q]) );
                in_x_mem[q] = complex_sub(tmp , complex_multi(w, in_x_mem[q]) );

            }
        }
    }
    memcpy(out_y,in_x_mem,len*sizeof(struct complex));
}