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c++ - boost::math::erf的算法

coder 2024-02-03 原文

boost erf 函数背后的算法是否有任何可用的详细信息？该模块的文档不是很精确。我发现的只是几种方法混合在一起。对我来说，它看起来像是 Abramowitz 和 Stegun 的变体。

  • 混合了哪些方法？
  • 这些方法是如何混合的？
  • erf 函数(常数时间)的复杂度是多少？

塞巴斯蒂安

最佳答案

Boost Math Toolkit 的文档有一长串references ，其中包括 Abramowitz 和 Stegun。 erf-function接口(interface)包含一个 policy可用于控制数值精度(及其运行时复杂性)的模板参数。

#include <boost/math/special_functions/erf.hpp>
namespace boost{ namespace math{

template <class T>
calculated-result-type erf(T z);

template <class T, class Policy>
calculated-result-type erf(T z, const Policy&);

template <class T>
calculated-result-type erfc(T z);

template <class T, class Policy>
calculated-result-type erfc(T z, const Policy&);

}} // namespaces

更新:

下面是先前提供的 erf 函数引用的“实现”部分的逐字拷贝:

实现

这些函数的所有版本首先使用通常的反射公式使它们的参数为正:

erf(-z) = 1 - erf(z);

erfc(-z) = 2 - erfc(z);  // preferred when -z < -0.5

erfc(-z) = 1 + erf(z);   // preferred when -0.5 <= -z < 0

这些函数的通用版本是根据不完全 Gamma 函数实现的。

当有效数(尾数)大小被识别时(目前为 53、64 和 113 位实数，加上通过 boost 为 double 处理的单精度 24 位)，然后使用 JM 设计的一系列有理近似值。

对于 z <= 0.5="" 然后使用="" erf="" 的有理逼近，基于="" erf="" 是一个奇函数的观察，因此="" erf="">

erf(z) = z * (C + R(z*z));

其中有理逼近 R(z*z) 针对绝对误差进行了优化:只要其绝对误差与常量 C 相比足够小，那么在计算 R(z*z) 期间产生的任何舍入误差) 将有效地从结果中消失。因此，此区域中 erf 和 erfc 的错误非常低:最后一位仅在极少数情况下不正确。

对于 z > 0.5，我们观察到在一个小区间 [a, b) 然后:

erfc(z) * exp(z*z) * z ~ c

对于一些常量 c。

因此对于 z > 0.5，我们使用以下方法计算 erfc:

erfc(z) = exp(-z*z) * (C + R(z - B)) / z;

同样，R(z - B) 针对绝对误差进行了优化，常数 C 是在范围端点处取的 erfc(z) * exp(z*z) * z 的平均值。再一次，只要 R(z - B) 中的绝对误差与 c 相比较小，那么 c + R(z - B) 将被正确舍入，结果中的误差将仅取决于 exp 的准确性功能。实际上，在极少数情况下，错误仅限于结果的最后一位。选择常数 B，使得有理近似范围的左端为 0。

对于 [a, +∞] 范围内的大 z，上述近似被修改为:

erfc(z) = exp(-z*z) * (C + R(1 / z)) / z;

在 excruciating detail 中解释了有理近似值。 .如果您需要更多详细信息，可以随时查看 source code .

关于c++ - boost::math::erf的算法，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/10633480/

ampboosterfcodec++mathdistributionnumerical-methods

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