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时间复杂度

 计算下列函数的时间复杂度

冒泡排序时间复杂度 

 大O的渐进表示法

旋转数组 

空间复杂度

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时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数（带未知数的函数表达式），时间复杂度不是执行时间（执行时间是有标准的，跟硬件设备有关系）它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

 计算下列函数的时间复杂度

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}

 时间复杂度函数式：N*N+2*N+10

Func1 执行的基本操作次数 ：

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010

这里计算清楚该函数在那个量级就行，不必求具体值，上式中后俩项对F（N）的影响很小，

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法（估算个大概）。

这里时间复杂度：O(N^2)

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

F（N）=2*N+10，2和10对F（N）的影响不大，所以是O（N）

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

F（N）=M+N,

M远大于N，时间复杂度就是O(M)

N远大于M，时间复杂度就是O(N)

N和M差不多大，时间复杂度就是O(M)或O(N)

N=M,时间复杂度O(2M)或O(2N)

冒泡排序时间复杂度 

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
     assert(a);
      for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
          for (size_t i = 1; i < end; ++i)
             {
                 if (a[i-1] > a[i])
                   {
                    Swap(&a[i-1], &a[i]);
                    exchange = 1;
                   }
             }
        if (exchange == 0)
        break;
    }
}

N个元素， 冒泡排序第一轮比较N-1次

                                第二轮N-2次

                                         .

                                         .

                                         .

                          最后一轮1次

1+2+3……+N-1=N*(N-1)/2=F（N）

对F（N）影响最大的一项是N^2/2，所以时间复杂度：O（N^2）

 大O的渐进表示法

 大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法（量级的估算）：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项（对结果产生决定性影响）。
3、如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数（参考上面的冒泡排序和M+N那道题）。得到的结果就是大O阶。

void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

如这道题，用常数1取代运行时间中的所有加法常数，这道题算法复杂度为O(1)，O(1)不代表一次，代表常数次

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

strchar函数遍历一个字符串，找某一个字符

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

这道题最好情况：O(1)

平均情况：O(N/2)

最坏情况：O(N)

对于冒泡排序

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
     assert(a);
      for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
          for (size_t i = 1; i < end; ++i)
             {
                 if (a[i-1] > a[i])
                   {
                    Swap(&a[i-1], &a[i]);
                    exchange = 1;
                   }
             }
        if (exchange == 0)
        break;
    }
}

时间复杂度最坏：O(N^2)，

时间复杂度最好：O(N) 这种情况是数组排好序了，遍历了N个元素

时间复杂度不能去数循环，而是要对程序进行分析

这是希尔排序，有三层循环，不能把这个时间复杂度认为是O(N^3),这个排序要比冒泡排序快，这个排序平均下来O(N^1.3)，因此我们不能通过循环去确定时间复杂度，要看算法的逻辑进行时间复杂度计算

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
   assert(a);
   int begin = 0;
   int end = n-1;
                      // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
      while (begin <= end)
    {
           int mid = begin + ((end-begin)>>1);
       if (a[mid] < x)
           begin = mid+1;
       else if (a[mid] > x)
           end = mid-1;
       else
return mid;
 }
   return -1;
}

 计算二分查找的时间复杂度，二分查找数组必须是有序的

最好的情况是O(1)

最坏的情况，当找完所有的数后没有找到某元素

二分查找每次会缩放一半的区间，若区间大小为N，第一次在N/2个元素查找，第二次N/2/2,第三次N/2/2/2……=1，以此类推

每查找一次，查找区间的个数减少一班，最后就剩一个值了

假设查找了X次，N=2^X,X=log 2 N（以二为底，N的对数）

X就是时间复杂度O(log 2 N)

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
int i=0;
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

时间复杂度为：O(N)

Fac(N)>Fac(N-1)>Fac(N-2)……F（0）

这里总共要调用N次，这里递归了N次，每次是O(1)

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
int i=0;
for(i=0;i<N;i++)
printf("%d",i);
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

对上题做修改后，时间复杂度变为O(N^2)

N+N-1+N-2+N-3......+1

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

2^0+2^1+2^2+2^3.... +2^(n-1)=2^N-1

 时间复杂度：O(2^N)

我们可以看到左边缺了一块，说明少了一些调用次数，但是少的这些调用次数和2^N相比可以忽略不计 。

优化斐波那契数列（把递归改循环）

long long Fib(size_t N)
{
long long f1=1,f2=1,f3;
for(size_t i=0;i<=N;i++)
{
f3=f2+f1;
f1=f2;
f2=f3;
}
return f3;
}

旋转数组 

给你一个数组，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3
输出: [5,6,7,1,2,3,4]
解释:
向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]
向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]
向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]

 方法1：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    int newArr[numsSize];
    for (int i = 0; i < numsSize; ++i) {
        newArr[(i + k) % numsSize] = nums[i];
    }
    for (int i = 0; i < numsSize; ++i) {
        nums[i] = newArr[i];
    }
}

 方法二：

以空间换时间

新开辟一块空间把后K个拷贝到数组前面，前N-K个拷贝到数组后面 ，之后将TMP数组拷贝回原数组，然后释放tmp数组

方法二：

 

 

 

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

 

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

冒泡循环空间复杂度：O(1)，这里数组是创建好的不是临时占用的，这里只有三个变量end i 和exchang，每次循环当中end i exchang都各自占用一个空间，循环了N次，end只占了一个空间，i和exchange也一样，所以空间复杂度是O(1)，

旋转数组

这个空间复杂度是O(N)，因为中间有创建一个临时数组来接收旋转的结果 

时间可以累计，空间可以重复利用

如果是结构体，还是O(1)，不用考虑里面的成员个数，把结构体当成一个整体

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

空间复杂度为O(N)，因为函数调用会涉及到栈帧的创建与销毁，每次在调用完一个函数之后，会把这块空间还给操作系统，这里对一个函数进行了调用，无论调用了多少次，函数所占的空间都一样，只不过是每次调用完之后会还给操作系统，每次调用的时候空间复杂度为O(1)，调用N次就是O(N)

不管调用多少次，函数仍然占据