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（蓝桥杯第十三届省赛）G：积木画（动态规划）

AC__dream 2023-05-23 原文

读入一个n，问有多少种不同的方式，答案对1e9+7取模。

分析：这道题是一个动态规划，设f[i][0]表示当前拼完了前i列的方案数，f[i][1]表示当前拼完了前i-1列，且第i列拼完了上面一个的方案数，f[i][2]表示当前拼完了前i-1列，且当前第i列拼完了下面一个的方案数。那么答案就是f[n][0]

下面进行动态转移方程的推导：

首先看f[i][0]可以由那些状态转移：

假如我们当前要放这样的一种积木，那么显然是由f[i-1][0]递推过来的，那要是放这样的积木呢？，那就是由f[i-1][2]递推了，也就是说第i-1列已经拼好了下面那个方块，同理也可由f[i-1][1]递推过来，也就是在第i列拼这样的积木：，是不是以为这就是所有的情况了，其实这还不是所有的情况，还有最后一种情况，就是上下各拼一块这样的积木，这就是由f[i-2][0]递推得到的了，这才是所有的情况数。

也就是说f[i][0]的递推转移方程是f[i][0]=(f[i-1][1]+f[i-1][2]+f[i-1][0]+f[i-2][0])%mod

下面再来看一下f[i][1]的递推方程，这个就比较容易考虑了，一个是放这样的积木：

这种情况是由f[i-2][0]的基础上递推得到的。还有一种情况是放这样的积木：，这种情况是在f[i-1][2]的基础上得到的，f[i][1]就是由这两种情况递推得到。

也就是说f[i][1]的转移方程就是f[i][1]=(f[i-2][0]+f[i-1][2])%mod

 那同理可得f[i][2]的转移方程就是f[i][2]=(f[i-2][0]+f[i-1][1])%mod

需要注意的是初始化应该设f[0][0]=1,还有就是递推方程中涉及到f[i-2][]，所以有些递推方程要在i>=2的情况下进行，防止越界

分析到这基本上本道题目就分析完了，下面附上代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e7+10;
long long f[N][3];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][0]=(f[i-1][0]+f[i-1][1]+f[i-1][2])%mod;
		if(i>=2) 
		{
			f[i][0]=(f[i][0]+f[i-2][0])%mod;
			f[i][1]=(f[i-2][0]+f[i-1][2])%mod;
			f[i][2]=(f[i-2][0]+f[i-1][1])%mod;
		}
	}
	printf("%lld",f[n][0]%mod);
	return 0;
}
蓝桥积木xff0cxffxff0蓝桥杯动态规划

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