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数学原理

选择主元

程序设计

整体流程与代码

测试函数

测试结果

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数学原理

高斯消元法求行列式：利用初等行变换，化为上三角行列式，求其主对角线的乘积

行列式的初等行变换：

1）换行变换：交换两行（行列式需变号）

2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k（行列式需乘K倍）

3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上（行列式不变）

上述三种变化中，本章将会用到换行变换与消法变换。 

例如：

行列式A为：

化为上三角行列式（选主元）：

A经过选主元与高斯消去后，化为上三角行列式（选主元见下文）

行列式是值为：

det（A）=1 * 1 * 2 * 6 = 12

选择主元

主元就是在矩阵消去过程中，每列的要保留的非零元素，用它可以把该列其他消去。在阶梯型矩阵中，主元就是每个非零行第一个非零元素就是主元。

高斯消去法在消元过程中可能出现零主元，即，这时消元过程将无法进行；也可能主元绝对值非常小，用它做除法将会导致舍入误差的扩散，使数值解不可靠。解决该问题的办法是避免使用绝对值过小的元素作主元。

选择主元的方法：

1）找到主对角线以下每列最大的数Max所在的行数k

2）利用初等行变换——换行变换，将k行与当前主元行互换（记录总共换行次数n）

3）以当前主元行为基，利用初等行变换——消法变换，将主对角线下方消0

4）行列式每次换行需变号，行列式最后的符号为

5）每次进行高斯消去前都必须选择主元，计算n维的行列式，则需要进行n-1次主元选择

程序设计

整体流程与代码

1）判断传入指针是否为空

2）判断矩阵维数，判断是否为方阵

3）为临时矩阵开辟空间

4）将原矩阵数据拷贝到临时矩阵中（保护原矩阵）

5）选择主元：利用初等行变换，找出每列绝对值最大的数，与主元行互换（1.提高一定的精度 2.避免原函数主对角线有0）

6）利用初等行变换进行消0

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<string.h>

double Det(double** src)
{
	//step 1
	//判断指针是否为空
	if (src == NULL)exit(-1);
	int i, j, k, row, col;
	double sum, tmp,** res;
	int count = 0,flag;
	//判断矩阵维数
	row = (double)_msize(src) / (double)sizeof(double*);
	col = (double)_msize(*src) / (double)sizeof(double);
	if (row != col)exit(-1);
	//step 2
	res = (double**)malloc(sizeof(double*) * row);
	for (i = 0; i < row; i++)
	{
		res[i] = (double*)malloc(sizeof(double) * row);
		memset(res[i], 0, sizeof(res[0][0]) * row);//初始化
	}
	//step 3
	//进行数据拷贝
	for (i = 0; i < row; i++)
	{
		memcpy(res[i], src[i], sizeof(res[0][0]) * row);
	}
	//step 4
	//找主元，绝对值最大的那一行，与主元行互换
	for (j = 0; j < col; j++)
	{
		flag = j;
		double Max = fabs(res[flag][j]);//用绝对值比较
		//默认当前主元行的数最大,从主对角线下方选择主元
		for (i = j; i < row; i++)
		{
			if (fabs(res[i][j]) > Max)
			{
				flag = i;
				Max = fabs(res[i][j]);
			}
		}
		if (i == j && i != flag)
		{
			count++;//记录互换次数
			for (k = 0; k < col; k++)
			{
				tmp = res[flag][k];
				res[flag][k] = res[i][k];
				res[i][k] = tmp;
			}
		}
		//将主对角下方元素消成0
		for (i = j + 1; i < row; i++)
		{
			double b = res[i][j] / res[j][j];
			for (k = 0; k < col; k++)
			{
				res[i][k] += b * res[j][k] * (-1);//初等行变换
			}
		}
	}
	//计算主对角线元素乘积
	sum = 1;
	for (i = 0; i < row; i++)
	{
		for (j = 0; j < col; j++)
		{
			if (i == j)
				sum *= res[i][j];
		}
	}
	//必须释放res内存！
	free(res);
	return pow(-1,count)*sum;
}

上述代码中：

• malloc函数在动态内存规划一文中有详细讲解
• 判断矩阵维数在C语言判断矩阵维数中有详细讲解
• 行列式必须是方阵，因此row和col是相等的，代码中row对应行操作，col对应列操作
• 因为高斯消元法是化为上三角行列式，所以每次消元时，起始的行数i=j+1，上三角部分不用消0
• 最后只需要返回三角行列式主对角元素的乘积即可，在函数末尾需要释放内存

测试函数

为了方便测试，创建三个测试函数

创建矩阵函数：

double** MakeMat(int n)
{
	int i = 0;
	if (n <= 0)exit(-1);
	double** res = (double**)malloc(sizeof(double*) * n);
	if (res == NULL)exit(-1);
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		res[i] = (double*)malloc(sizeof(double) * n);
	}
	return res;
}

初始化函数：

void InitMat(double** src)
{
	if (src == NULL)exit(-1);
	int i, j, n;
	n = (double)_msize(src) / (double)sizeof(double*);
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		for (j = 0; j < n; j++)
		{
			src[i][j] = pow(i, j);
		}
	}
}

初始化为i的j次方 

打印函数：

void print(double** src)
{
	if (src == NULL)exit(-1);
	putchar('\n');
	int i, j, row, col;
	row = (double)_msize(src) / (double)sizeof(double*);
	col = (double)_msize(*src) / (double)sizeof(double);
	for (i = 0; i < row; i++)
	{
		for (j = 0; j < col; j++)
		{
			printf("%9.4lf", src[i][j]);
		}
		putchar('\n');
	}
}

测试结果

int main()
{
	int n = 4;
	double** arr = MakeMat(n);
	InitMat(arr);
	printf("原行列式:>");
	print(arr);
	printf("上三角行列式:>");
	double res = Det(arr);
	printf("计算结果:>");
	printf("%lf\n", res);
	return 0;
}

这里没有返回上三角行列式，只是在函数最后加了一个打印，对其进行观察