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双目深度估计——视差到深度的两种推导方法

jiayuzhang128 2023-04-10 原文

双目深度估计——视差到深度的两种推导方法

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0. 基本假设

假设双目系统是标准形式，即：

  • 两相机内参数相同，即焦距、分辨率等参数一致；
  • 两相机光轴平行；
  • 成像平面处于同一水平线；

假设以左相机坐标系为主坐标系，也就是说两相机只存在X轴方向上的平移变换。

1. 几何法（直观）

设上面的所有长度的单位为m

  • 由上图标准双目立体系统俯视图所示， O L O_{L} OL​、 O R O_{R} OR​分别为左右相机光心， b b b为两相机基线长度， P P P为空间中的一点， P L P_{L} PL​、 P R P_{R} PR​分别为 P P P在左右相机成像平面上的像点， f f f为相机的焦距。
  • 由 △ O L A P ∼ △ O L C P L \bigtriangleup O_{L}AP \sim \bigtriangleup O_{L}CP_{L} △OL​AP∼△OL​CPL​和 △ O R B P ∼ △ O R D P R \bigtriangleup O_{R}BP \sim \bigtriangleup O_{R}DP_{R} △OR​BP∼△OR​DPR​可得：
    • Z f = P A x L − x C = P B x D − x R = P A + P B x L − x R + ( x D − x C ) = b d + ( x D − x C ) \frac{Z}{f}=\frac{PA}{x_{L}-x_{C}}=\frac{PB}{x_{D}-x_{R}}=\frac{PA+PB}{x_{L}-x_{R}+(x_{D}-x_{C})}=\frac{b}{d+(x_{D}-x_{C})} fZ​=xL​−xC​PA​=xD​−xR​PB​=xL​−xR​+(xD​−xC​)PA+PB​=d+(xD​−xC​)b​进而得到：
    • Z = b f d + ( x D − x C ) Z=\frac{bf}{d+(x_{D}-x_{C})} Z=d+(xD​−xC​)bf​，由于两相机参数相等，因此 x D − x C = 0 x_{D}-x_{C}=0 xD​−xC​=0，故而有：
    • Z = b f d Z=\frac{bf}{d} Z=dbf​

其中 d = x L − x R d=x_{L}-x_{R} d=xL​−xR​为对应点的视差值

2. 相机参数推导法

由基本假设可以可知，左右相机内参相等，且左右相机只存在X轴方向的平移运动。那么有：

  • 相机内参数： K L = K R = K = [ f x γ u 0 0 f y v 0 0 0 1 ] K_{L}=K_{R}=K=\begin{bmatrix} f_{x}&\gamma&u_{0}\\0&f_{y}&v_{0}\\0&0&1\end{bmatrix} KL​=KR​=K= ​fx​00​γfy​0​u0​v0​1​ ​；
  • 相机外参数（以右相机到左相机为例）： R R − > L = E R_{R->L}=E RR−>L​=E， t R − > L = [ t x t y t z ] = [ b 0 0 ] t_{R->L}=\begin{bmatrix} t_{x}\\t_{y}\\t_{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b\\0\\0\end{bmatrix} tR−>L​= ​tx​ty​tz​​ ​= ​b00​ ​
  • 设： P O L P_{OL} POL​、 P O R P_{OR} POR​、 P L P_{L} PL​、 P R P_{R} PR​的坐标分别为 P O L = [ X L Y L Z L ] P_{OL}=\begin{bmatrix} X_{L}\\Y_{L}\\Z_{L}\end{bmatrix} POL​= ​XL​YL​ZL​​ ​、 P O R = [ X R Y R Z R ] P_{OR}=\begin{bmatrix} X_{R}\\Y_{R}\\Z_{R}\end{bmatrix} POR​= ​XR​YR​ZR​​ ​、 P L = [ u L v L 1 ] P_{L}=\begin{bmatrix} u_{L}\\v_{L}\\1\end{bmatrix} PL​= ​uL​vL​1​ ​、 P R = [ u R v R 1 ] P_{R}=\begin{bmatrix} u_{R}\\v_{R}\\1\end{bmatrix} PR​= ​uR​vR​1​ ​；

P O L , P O R P_{OL},P_{OR} POL​,POR​为左右相机坐标系下的P点坐标， P L P_{L} PL​和 P R P_{R} PR​为像素坐标，相机内外参详解请参考相机模型

根据小孔成像模型，有：

  • P L = [ u L v L 1 ] = K L 1 Z L P O L = K L 1 Z L [ X L Y L Z L ] P_{L}=\begin{bmatrix} u_{L}\\v_{L}\\1\end{bmatrix}=K_{L}\frac{1}{Z_{L}}P_{OL}=K_{L}\frac{1}{Z_{L}}\begin{bmatrix} X_{L}\\Y_{L}\\Z_{L}\end{bmatrix} PL​= ​uL​vL​1​ ​=KL​ZL​1​POL​=KL​ZL​1​ ​XL​YL​ZL​​ ​

  • P R = [ u R v R 1 ] = K R 1 Z R P O R = K R 1 Z R [ X R Y R Z R ] P_{R}=\begin{bmatrix} u_{R}\\v_{R}\\1\end{bmatrix}=K_{R}\frac{1}{Z_{R}}P_{OR}=K_{R}\frac{1}{Z_{R}}\begin{bmatrix} X_{R}\\Y_{R}\\Z_{R}\end{bmatrix} PR​= ​uR​vR​1​ ​=KR​ZR​1​POR​=KR​ZR​1​ ​XR​YR​ZR​​ ​

  • P O L = R R − > L P O R + t R − > L = E P O R + t R − > L = P O R + [ b 0 0 ] P_{OL}=R_{R->L}P_{OR}+t_{R->L}=EP_{OR}+t_{R->L}=P_{OR}+\begin{bmatrix} b\\0\\0\end{bmatrix} POL​=RR−>L​POR​+tR−>L​=EPOR​+tR−>L​=POR​+ ​b00​ ​

联立上面三个等式可以得到：

  • P L − P R = [ u L − u R v L − v R 0 ] = K 1 Z [ b 0 0 ] P_{L}-P_{R}=\begin{bmatrix} u_{L}-u_{R}\\v_{L}-v_{R}\\0\end{bmatrix}=K\frac{1}{Z}\begin{bmatrix} b\\0\\0\end{bmatrix} PL​−PR​= ​uL​−uR​vL​−vR​0​ ​=KZ1​ ​b00​ ​

由左右相机成像平面在同一水平线上，那么v坐标相等，即 v L − v R = 0 v_{L}-v_{R}=0 vL​−vR​=0；

左右相机内参相等，都为 K = [ f x γ u 0 0 f y v 0 0 0 1 ] K=\begin{bmatrix} f_{x}&\gamma&u_{0}\\0&f_{y}&v_{0}\\0&0&1\end{bmatrix} K= ​fx​00​γfy​0​u0​v0​1​ ​；

Z L = Z R = Z Z_{L}=Z_{R}=Z ZL​=ZR​=Z。

展开得：

  • [ u L − u R 0 0 ] = [ f x γ u 0 0 f y v 0 0 0 1 ] 1 Z [ b 0 0 ] = [ b f x Z 0 0 ] \begin{bmatrix} u_{L}-u_{R}\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{x}&\gamma&u_{0}\\0&f_{y}&v_{0}\\0&0&1\end{bmatrix}\frac{1}{Z}\begin{bmatrix} b\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{bf_{x}}{Z}\\0\\0\end{bmatrix} ​uL​−uR​00​ ​= ​fx​00​γfy​0​u0​v0​1​ ​Z1​ ​b00​ ​= ​Zbfx​​00​ ​；
  • 设 d = u L − u R d=u_{L}-u_{R} d=uL​−uR​，有:
  • Z = b f x d Z=\frac{bf_{x}}{d} Z=dbfx​​

注意，这里的单位并不一致，视差 d d d的单位是像素，基线 b b b的单位为m， f x f_{x} fx​的单位为像素，请参考相机模型

3. 总结

几何法推导更加直观，可以帮助我们快速理解双目获取深度的原理；

相机参数推导法可以进一步加深我们对相机参数的理解，进一理解深度获取的本质问题。

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