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📢系列专栏： 蓝桥杯
🔊本专栏涉及到的知识点或者题目是算法专栏的补充与应用
💪 种一棵树最好是十年前其次是现在

递归

递归实现指数型枚举

下面给出原理分析过程图：

本质就是数学里面的全排列

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 16;
int n;
int st[N];//表示状态：0代表考虑，1代表选择，2代表不选择

void dfs(int u)
{
    if (u > n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (st[i] == 1)
            {
                printf("%d ", i);
            }
        }
        puts("");
        return;
    }
    else
    {
        st[u] = 1;//选择
        dfs(u + 1);
        st[u] = 0;//回溯

        st[u] = 2;//不选择
        dfs(u + 1);
        st[u] = 0;//回溯
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    dfs(1);
    return 0;
}

我们也可以优化一下，不用三个状态去表示，采用bool：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 16;
int n;
bool vis[N];

void dfs(int u)
{
    if (u > n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (vis[i])
            {
                printf("%d ", i);
            }
        }
        puts("");
        return;
    }
    else
    {
        vis[u] = true;
        dfs(u + 1);

        vis[u] = false;
        dfs(u + 1);
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    dfs(1);
    return 0;
}

其实不然，递归顾名思义，先递下去，还要归回来，

针对这里的代码，可能有些人认为不会执行下面的false：

dfs(u+1)运行之后不是还有个return吗，这时候就会返回上一级函数，执行下面的false子任务

回到递归树上对应的父亲节点，接着遍历父亲的其他儿子。他在这颗子树的遍历中，父亲节点选过的打上标记，子节点才不会选。dfs完相当于把这颗树遍历完了，所以这个树又可以选了。

递归实现排列型枚举

下面给出图解分析过程：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N =10;
int path[N];//保存序列 
int state[N];//数字是否被使用过 
int n;

void dfs(int u)
{
    if(u>n)//数字填完了，输出 
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)//输出方案 
        {
            cout<<path[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
        return ;
    }
    else
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!state[i])//如果数字i没有被用过 
            {
                path[u]=i;//放入空位 
                state[i]=1;//数字被用，修改状态 
                dfs(u+1);//填下一位 
                state[i]=0;//回溯，取出i 
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

另外需要注意的是本题的时间复杂度是

下面给出简易的证明：

递归实现组合型枚举

下面给出图解分析过程：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 30;
int n, m;
int path[N];

void dfs(int u, int s)//u代表当前枚举到哪个位置，s代表当前最小可以从哪个数枚举
{
    if (u + n - s < m)  return;//剪枝：就算将剩下的数全部选中也凑不齐m个数，所以一定没有答案，所以减掉
    if (u == m + 1)
    {
        for (int i = 1; i <= m; i++)   cout << path[i] << " ";
        puts("");
        return;
    }
    else
    {
        for (int i = s; i <= n; i++)
        {
            path[u] = i;
            dfs(u + 1, i + 1);
            path[u] = 0;//回溯
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    dfs(1, 1);
    return 0;
}

带分数

分析过程：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int target;//题目条件给的数
int num[N];//用来保存全排列的结果
bool used[N];//生成全排列的过程中标记是否被使用过
int cnt;//计数，最后的输出结果

int calc(int l, int r)//计算num数组中一段的数是多少
{
    int res = 0;
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        res = res * 10 + num[i];//小学数学的加法进位
    }
    return res;
}


void dfs(int u)//生成全排列
{
    if (u == 9)
    {
        //要把全排列分成三段
        for (int i = 0; i < 7; i++)//这里的i是位置，跟else里面的i不同
        {
            for (int j = i + 1; j < 8; j++)
            {
                int a = calc(0, i);
                int b = calc(i + 1, j);
                int c = calc(j + 1, 8);
                //这里一定要把除法变成乘法，因为c++里面除法是整除，写成除法的形式容易出错
                if (c * target == a * c + b)
                {
                    cnt++;
                }
            }
        }
        return;
    }
    else
    {
        for (int i = 1; i <= 9; i++)//这里的i是数字
        {
            if (!used[i])
            {
                used[i] = true;//只要进if里面来，就是标记使用
                num[u] = i;
                dfs(u + 1);
                used[i] = false;//回溯，还原现场
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> target;
    dfs(0);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

本题是蓝桥杯某年省赛的原题，下面再给出一个直接调用 next_permutation() 函数的做法，可以代替手写暴搜来枚举全排列，蓝桥杯是可以使用这个函数的

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 10;

int target;
int num[N];

int calc(int l, int r) 
{
    int res = 0;
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        res = res * 10 + num[i];
    }
    return res;
}

int main() 
{
    cin >> target;
    for (int i = 0; i < 9; i++) 
    {
        num[i] = i + 1;
    }
    int cnt = 0;
    do
    {
        for (int i = 0; i < 7; i++) 
        {
            for (int j = i + 1; j < 8; j++) 
            {
                int a = calc(0, i);
                int b = calc(i + 1, j);
                int c = calc(j + 1, 8);
                if (a == 0 || b == 0 || c == 0)//特殊情况，需要单独讨论一下
                {
                    continue;
                }
                if (a * c + b == c * target) 
                {
                    ++cnt;
                }
            }
        }
        // 调用函数生成全排列
    } while (next_permutation(num, num + 9));
    cout << cnt << '\n';
    return 0;
}

• 为什么 next_permutation() 函数选用do-while循环结构？
  因为你初始化的时候数组是一种情况，直接全排列的话第一种情况直接就少掉了。这也是 next_permutation() 的一个固定方式。

[补充] next_permutation() 函数

另外补充一下 next_permutation() 函数的用法：

对于next_permutation函数，其函数原型为：

#include <algorithm>
bool next_permutation(iterator start,iterator end)

如果当前序列不存在下一个排列时，函数返回false，否则返回true

例：将1，2，3，4，5进行全排列

#include <iostream>  
#include <algorithm>  
using namespace std;
int main()
{
    int num[5] = { 1,2,3,4,5 };
    do
    {
        cout << num[0] << " " << num[1] << " " << num[2] <<" "<<num[3]<<" "<<num[4]<< endl;
    } while (next_permutation(num, num + 5));
    return 0;
}

如果将+5改为+2：

#include <iostream>  
#include <algorithm>  
using namespace std;
int main()
{
    int num[5] = { 1,2,3,4,5 };
    do
    {
        cout << num[0] << " " << num[1] << " " << num[2] <<" "<<num[3]<<" "<<num[4]<< endl;
    } while (next_permutation(num, num + 2));
    return 0;
}

由此可以看出，next_permutation(num,num+n)函数是对数组num中的前n个元素进行全排列，同时并改变num数组的值。

此外，需要强调的是，next_permutation（）在使用前需要对欲排列数组按升序排序，否则只能找出该序列之后的全排列数。