我正在实现一个线段树，以便能够快速回答数组 A 中的以下查询:

• 查询i,j:范围(i,j)内所有元素的总和
• update i, j, k:将k添加到range(i,j)中的所有元素

这是我的实现:

typedef long long intt;

const int max_num=100000,max_tree=4*max_num;
intt A[max_num],ST[max_tree];

void initialize(int node, int be, int en) {
  if(be==en) {
    ST[node]=ST[be];
  } else {
    initialize(2*node+1,be,(be+en)/2);
    initialize(2*node+2,(be+en)/2+1,en);

    ST[node]=ST[2*node+1]+ST[2*node+2];
  }
}

void upg(int node, int be, int en, int i, intt k) {
  if(be>i || en<i || be>en) return;
  if(be==en) {
    ST[node]+=k;
    return;
  }
  upg(2*node+1, be, (be+en)/2, i, k);
  upg(2*node+2, (be+en)/2+1, en, i, k);
  ST[node] = ST[2*node+1]+ST[2*node+2];
}

intt query(int node, int be, int en, int i, int j) {
  if(be>j || en<i) return -1;
  if(be>=i && en<=j) return ST[node];

  intt q1=query(2*node+1, be, (be+en)/2, i, j);
  intt q2=query(2*node+2, (be+en)/2+1, en, i, j);

  if(q1==-1) return q2;
  else if(q2==-1) return q1;
  else return q1+q2;
}

查询函数非常快，其复杂度为 O(lg N)，其中 N 为 j-i。更新函数在一般情况下也很快，但是当j-i很大时，更新的复杂度是O(N lg N)，一点也不快。

我稍微查了下题目，发现如果用惰性传播实现线段树，查询和更新的复杂度都是O(lg N)，比O(N lg N)渐进快.

我还找到了另一个问题的链接，它有一个非常好的线段树实现，它使用指针:How to implement segment trees with lazy propagation? .所以，这是我的问题:是否有更简单的方法来实现惰性传播，不使用指针，而是使用数组索引，并且没有 segment_tree 数据结构？

最佳答案

这是我在玩这个数据结构和一些模板 tomfoolery。

所有这些困惑的底部是访问两个平面数组，其中一个包含求和树，另一个包含进位值树以便稍后向下传播。从概念上讲，它们形成一棵二叉树。

二叉树中节点的真实值是存储和树中的值加上该节点下的叶数乘以从该节点返回到根的所有进位树值的总和。

同时，树中每个节点的真值等于其下每个叶节点的真值。

我写了一个函数来同时进行进位和求和，因为事实证明它们正在访问相同的节点。读有时会写。因此，您可以通过将 increase 设为零来调用它来获得总和。

模板 tomfoolery 所做的只是计算节点在每棵树中的偏移量以及左右子节点的位置。

虽然我确实使用了 struct，但 struct 是 transient 的——它只是一个包装器，在数组的偏移量周围有一些预先计算的值。我确实存储了一个指向数组开头的指针，但是每个 block_ptr 在此程序中都使用完全相同的 root 值。

为了调试，我有一些乱七八糟的 Assert() 和 Debug() 宏，以及递归求和函数调用的跟踪无效函数(我用它来跟踪对其调用的总数)。再一次，为了避免全局状态而不必要地复杂化。 :)

#include <memory>
#include <iostream>

// note that you need more than 2^30 space to fit this
enum {max_tier = 30};

typedef long long intt;

#define Assert(x) (!(x)?(std::cout << "ASSERT FAILED: (" << #x << ")\n"):(void*)0)
#define DEBUG(x) 

template<size_t tier, size_t count=0>
struct block_ptr
{
  enum {array_size = 1+block_ptr<tier-1>::array_size * 2};
  enum {range_size = block_ptr<tier-1>::range_size * 2};
  intt* root;
  size_t offset;
  size_t logical_offset;
  explicit block_ptr( intt* start, size_t index, size_t logical_loc=0 ):root(start),offset(index), logical_offset(logical_loc) {}
  intt& operator()() const
  {
    return root[offset];
  }
  block_ptr<tier-1> left() const
  {
    return block_ptr<tier-1>(root, offset+1, logical_offset);
  }
  block_ptr<tier-1> right() const
  {
    return block_ptr<tier-1>(root, offset+1+block_ptr<tier-1>::array_size, logical_offset+block_ptr<tier-1>::range_size);
  }
  enum {is_leaf=false};
};

template<>
struct block_ptr<0>
{
  enum {array_size = 1};
  enum {range_size = 1};
  enum {is_leaf=true};
  intt* root;
  size_t offset;
  size_t logical_offset;

  explicit block_ptr( intt* start, size_t index, size_t logical_loc=0 ):root(start),offset(index), logical_offset(logical_loc)
  {}
  intt& operator()() const
  {
    return root[offset];
  }
  // exists only to make some of the below code easier:
  block_ptr<0> left() const { Assert(false); return *this; }
  block_ptr<0> right() const { Assert(false); return *this; }
};


template<size_t tier>
void propogate_carry( block_ptr<tier> values, block_ptr<tier> carry )
{
  if (carry() != 0)
  {
    values() += carry() * block_ptr<tier>::range_size;
    if (!block_ptr<tier>::is_leaf)
    {
      carry.left()() += carry();
      carry.right()() += carry();
    }
    carry() = 0;
  }
}

// sums the values from begin to end, but not including end!
// ie, the half-open interval [begin, end) in the tree
// if increase is non-zero, increases those values by that much
// before returning it
template<size_t tier, typename trace>
intt query_or_modify( block_ptr<tier> values, block_ptr<tier> carry, int begin, int end, int increase=0, trace const& tr = [](){} )
{
  tr();
  DEBUG(
  std::cout << begin << " " << end << " " << increase << "\n";
  if (increase)
  {
    std::cout << "Increasing " << end-begin << " elements by " << increase << " starting at " << begin+values.offset << "\n";
  }
  else
  {
    std::cout << "Totaling " << end-begin << " elements starting at " << begin+values.logical_offset << "\n";
  }
  )
  if (end <= begin)
    return 0;
  size_t mid = block_ptr<tier>::range_size / 2;
  DEBUG( std::cout << "[" << values.logical_offset << ";" << values.logical_offset+mid << ";" << values.logical_offset+block_ptr<tier>::range_size << "]\n"; )
  // exatch math first:
  bool bExact = (begin == 0 && end >= block_ptr<tier>::range_size);
  if (block_ptr<tier>::is_leaf)
  {
    Assert(bExact);
  }
  bExact = bExact || block_ptr<tier>::is_leaf; // leaves are always exact
  if (bExact)
  {
    carry()+=increase;
    intt retval =  (values()+carry()*block_ptr<tier>::range_size);
    DEBUG( std::cout << "Exact sum is " << retval << "\n"; )
    return retval;
  }
  // we don't have an exact match.  Apply the carry and pass it down to children:
  propogate_carry(values, carry);
  values() += increase * end-begin;
  // Now delegate to children:
  if (begin >= mid)
  {
    DEBUG( std::cout << "Right:"; )
    intt retval = query_or_modify( values.right(), carry.right(), begin-mid, end-mid, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Right sum is " << retval << "\n"; )
    return retval;
  }
  else if (end <= mid)
  {
    DEBUG( std::cout << "Left:"; )
    intt retval = query_or_modify( values.left(), carry.left(), begin, end, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Left sum is " << retval << "\n"; )
    return retval;
  }
  else
  {
    DEBUG( std::cout << "Left:"; )
    intt left = query_or_modify( values.left(), carry.left(), begin, mid, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Right:"; )
    intt right = query_or_modify( values.right(), carry.right(), 0, end-mid, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Right sum is " << left << " and left sum is " << right << "\n"; )
    return left+right;
  }
}

这里有一些辅助类，可以轻松创建给定大小的线段树。但是请注意，您所需要的只是一个大小合适的数组，您可以从指向元素 0 的指针构造一个 block_ptr，一切顺利。

template<size_t tier>
struct segment_tree
{
  typedef block_ptr<tier> full_block_ptr;
  intt block[full_block_ptr::range_size];
  full_block_ptr root() { return full_block_ptr(&block[0],0); }
  void init()
  {
    std::fill_n( &block[0], size_t(full_block_ptr::range_size), 0 );
  }
};

template<size_t entries, size_t starting=0>
struct required_tier
{
  enum{ tier =
    block_ptr<starting>::array_size >= entries
    ?starting
    :required_tier<entries, starting+1>::tier
  };
  enum{ error =
    block_ptr<starting>::array_size >= entries
    ?false
    :required_tier<entries, starting+1>::error
  };
};

// max 2^30, to limit template generation.
template<size_t entries>
struct required_tier<entries, size_t(max_tier)>
{
  enum{ tier = 0 };
  enum{ error = true };
};

// really, these just exist to create an array of the correct size
typedef required_tier< 1000000 > how_big;

enum {tier = how_big::tier};


int main()
{
  segment_tree<tier> values;
  segment_tree<tier> increments;
  Assert(!how_big::error); // can be a static assert -- fails if the enum of max tier is too small for the number of entries you want
  values.init();
  increments.init();
  auto value_root = values.root();
  auto carry_root = increments.root();

  size_t count = 0;
  auto tracer = [&count](){count++;};
  intt zero = query_or_modify( value_root, carry_root, 0, 100000, 0, tracer );
  std::cout << "zero is " << zero << " in " << count << " steps\n";
  count = 0;
  Assert( zero == 0 );
  intt test2 = query_or_modify( value_root, carry_root, 0, 100, 10, tracer ); // increase everything from 0 to 100 by 10
  Assert(test2 == 1000);
  std::cout << "test2 is " << test2 << " in " << count << " steps \n";
  count = 0;
  intt test3 = query_or_modify( value_root, carry_root, 1, 1000, 0, tracer );
  Assert(test3 == 990);
  std::cout << "test3 is " << test3 << " in " << count << " steps\n";
  count = 0;
  intt test4 = query_or_modify( value_root, carry_root, 50, 5000, 87, tracer );
  Assert(test4 == 10*(100-50) + 87*(5000-50) );
  std::cout << "test4 is " << test4 << " in " << count << " steps\n";
  count = 0;
}

虽然这不是您想要的答案，但它可能会让其他人更容易编写它。写这篇文章让我很开心。所以，希望对您有所帮助!

代码在 Ideone.com 上使用 C++0x 编译器进行了测试和编译。

关于c++ - 如何使用惰性传播实现线段树？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/13218173/