给定ℝ上无解线性方程组
A
x
=
b
\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}
Ax=b，构造
A
T
A
\boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{A}
ATA及
A
T
b
\boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{b}
ATb，然后调用博文《线性方程组的通解》定义的mySolve函数，解方程组
A
T
A
x
=
A
T
b
\boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{b}
ATAx=ATb。取任一特解
x
0
\boldsymbol{x}_0
x0即为解线性方程组
A
x
=
b
\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}
Ax=b的一个最小二乘解（即
A
\boldsymbol{A}
A的列向量生成空间中距
b
\boldsymbol{b}
b最近的向量）。
例1 用Python计算无解方程组
{
4
x
1
+
2
x
2
−
x
3
=
2
3
x
1
−
x
2
+
2
x
3
=
10
11
x
1
+
3
x
2
=
8
\begin{cases}4x_1+2x_2-x_3=2\\3x_1-x_2+2x_3=10\\11x_1+3x_2\quad\quad=8\end{cases}
⎩
⎨
⎧4x1+2x2−x3=23x1−x2+2x3=1011x1+3x2=8的最小二乘解。
import numpy as np #导入numpy
from fractions import Fraction as F #导入Fraction
np.set_printoptions(formatter= #设置输出数据格式
{'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
A=np.array([[4,2,-1], #设置系数矩阵A
[3,-1,2],
[11,3,0]],dtype='float')
b=np.array([2,10,8]) #常数项量b
B=np.matmul(A.T,A) #A的转置与A的积
c=np.matmul(A.T,b.reshape(3,1)) #A的转置与b的积
X=mySolve(B,c) #解最小二乘方程组
print(X[:,0])
程序的第5~7行设置原方程组的系数矩阵A，第8行设置原方程组的常数向量b。第9行调用numpy的matmul函数计算 A T A \boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{A} ATA，存于B。第10行计算 A T A b \boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{Ab} ATAb，存于c。第11行调用函数mySolve（见博文《线性方程组的通解》）解方程组 A T A x = A T b \boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{b} ATAx=ATb，解集记为X。注意，X中第1列（X[:,0]）存储的是方程组的特解。运行程序，输出
[9/5 -18/5 0]
即原方程组
A
x
=
b
\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}
Ax=b的最小二乘解为
x
0
=
(
9
5
−
18
5
0
)
\boldsymbol{x}_0=\begin{pmatrix}\frac{9}{5}\\-\frac{18}{5}\\0\end{pmatrix}
x0=⎝
⎛59−5180⎠
⎞。它是
α
1
=
(
4
3
1
)
,
α
2
=
(
2
−
1
3
)
,
α
3
=
(
1
2
0
)
\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}
α1=⎝
⎛431⎠
⎞,α2=⎝
⎛2−13⎠
⎞,α3=⎝
⎛120⎠
⎞的生成子空间
W
W
W中距
b
=
(
2
10
8
)
\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\10\\8\end{pmatrix}
b=⎝
⎛2108⎠
⎞最近的向量。
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