红黑树

• 红黑树的概念
• • 红黑树的性质
  • 红黑树节点的定义
  • 红黑树结构
  • 红黑树的插入操作
  • 红黑树的验证
  • 红黑树与AVL树的比较

红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

我们分析一下：
最短路径为全黑，最长路径就是红黑节点交替（因为红色节点不能连续），每条路径的黑色节点相同，则最长路径、刚好是最短路径的两倍。

红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color{RED, BLACK};
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
 {
	 RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
		 : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		 , _data(data), _color(color)
	 {}
	 
	 RBTreeNode<ValueType>* _pLeft; // 节点的左孩子
	 RBTreeNode<ValueType>* _pRight; // 节点的右孩子
	 RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)
	 ValueType _data; // 节点的值域
	 Color _color; // 节点的颜色
 };

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？
插入红色节点树的性质可能不会改变，而插入黑色节点每次都会违反性质4.

通过性质发现： 将节点设置为红色在插入时对红黑树造成的影响是小的，而黑色是最大的

总结：将红黑树的节点默认颜色设置为红色，是为尽可能减少在插入新节点对红黑树造成的影响。

红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为根节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点，如下：

红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

	bool Insert(const T& value)
	{
		// 1. 按照二叉搜索树的规则插入新节点
		// 空树
		Node*& root = GetRoot();
		if (nullptr == root)
		{
			root = new Node(value, BLACK);
			root->_parent = _head;
		}
		else
		{
			// 非空
			// 按照二叉搜索树的特性找待插入节点在树中的位置
			Node* cur = root;
			Node* parent = _head;
			while (cur)
			{
				parent = cur;
				if (value < cur->_value)
					cur = cur->_left;
				else if (value > cur->_value)
					cur = cur->_right;
				else
					return false;
			}

			// 插入新节点
			cur = new Node(value);
			if (value < parent->_value)
				parent->_left = cur;
			else
				parent->_right = cur;

			cur->_parent = parent;

			// 2. 检测新节点插入之后是否违反性质三：即是否存在红色节点连在一起的情况
			//    因为新插入节点cur的颜色是红色的，如果cur双亲parent节点的颜色也是红色的
			//    则违反了性质三
			while (RED == parent->_color)   // ???
			{
				// 违反了性质三
				Node* grandFather = parent->_parent;
				// 此处grandFather一定不为空
				// 因为：parent是红色的，则parent一定不是根节点，parent的双亲一定是存在的
				if (parent == grandFather->_left)
				{
					// 课件中给的三种情况
					Node* uncle = grandFather->_right;
					if (uncle && RED == uncle->_color)
					{
						// 情况一：叔叔节点存在且为红
						parent->_color = BLACK;
						uncle->_color = BLACK;
						grandFather->_color = RED;
						cur = grandFather;
						parent = cur->_parent;
					}
					else
					{
						// 叔叔节点为空 || 叔叔节点存在且为黑--->即情况二 或者 情况三
						// 情况三
						if (cur == parent->_right)
						{
							// 先对parent进行左单旋，然后将parent和cur交换---->变成情况二
							RotateLeft(parent);
							swap(parent, cur);
						}

						// 情况二：
						// 将祖父和双亲节点的颜色交换，然后再对祖父树进行右单旋
						grandFather->_color = RED;
						parent->_color = BLACK;
						RotateRight(grandFather);
					}
				}
				else
				{
					// 课件总给的三种情况的反情况
				}
			}


			
		}

		// 需要更新_head的left和right指针域
		_head->_left = MostLeft();
		_head->_right = MostRight();
		root->_color = BLACK;
		return true;
	}

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
   因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
   约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
   
   解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色–p变黑，g变红
情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
则转换成了情况2

针对每种情况进行相应的处理即可。

红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsValidRBTree()
{
	 PNode pRoot = GetRoot();
	 // 空树也是红黑树
	 if (nullptr == pRoot)
	 	return true;
	 	
	 // 检测根节点是否满足情况
	 if (BLACK != pRoot->_color)
	 {
		 cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
		  return false;
	 }
	 // 获取任意一条路径中黑色节点的个数
	 size_t blackCount = 0;
	 PNode pCur = pRoot;
	 while (pCur)
	 {
		 if (BLACK == pCur->_color)
		 	blackCount++;
		 	
		 pCur = pCur->_pLeft;
	 }
	 // 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
	 size_t k = 0;
	 return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
 }
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
 {
	 //走到null之后，判断k和black是否相等
	 if (nullptr == pRoot)
	 {
		 if (k != blackCount)
		 {
			 cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
			 return false;
		 }
	 return true;
	 }
	 
	 // 统计黑色节点的个数
	 if (BLACK == pRoot->_color)
		 k++;
	 // 检测当前节点与其双亲是否都为红色
	 PNode pParent = pRoot->_pParent;
	 if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
	 {
		 cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
		 return false;
	 }
	 return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&
	 		_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
 }

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log2N )，红黑树不追求绝对平衡，只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。